Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
451 kez görüntülendi

"(X,d) bir metrik uzay, Y ve Z, X'in iki alt kümesi olsun.

Eğer ∀ x,y ∈ Y ve x ≠ y için d(x,y)=d(x,z)+d(z,y) ve d(x,z),d(z,y)≠0 olacak şekilde z∈Z varsa Z kümesi, Y'de yoğun denir."

bu tanım olabilir mi acaba?

Akademik Matematik kategorisinde (49 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 451 kez görüntülendi
Yoğunluğun bildiğimiz tanımına denk midir demek istiyorsun değil mi?
Evet, ama bildiğimiz tanım sadece sıralı kümeler için geçerlidir.
Yoğunluktan saglamasini istediğin özellik ne, hangi özelliği genellestirmek istiyorsun?
benim asıl sorum şöyle, her hangi bir kümede yada uzayda yoğunluğu tanımlayabilir miyiz?
Topolojik uzaylarda tanımlanabiliyor.
Şöyle sorayım, bana örnek verebilir misin, öyle bir tanım vereyim ki, şu şunun icinde yoğun olasın, ama bu bunun içinde yoğun olmasın diyeceğin.

Anladım sizi hocam, vakit ayırdığınız için teşekkür ederim, aslında ben hala lisan öğrencisiyim yani sadece meraktan sordum,

yani aradığım belli özellikler yoktur.

f,g R'den R'ye tanımlı iki sürekli fonksiyon için eğer bütün rasiyonel sayılar için f ve g eşit ise f=g olur" bu teorem üzerinde çalışıyordum

 ispatladıktan sonra, acaba R'den değil de herhangi bir küme için nasıl genişleyebiliriz bu teoremi diye sordum kendime.

Teşekkür ederim Doğan Hoca.
Daha fazla detaya girmek için bir kaynak önerebilir misiniz?
Anlıyorum, ben sadece bir tanım yapmak istediğin için düşünmemize önayak olacak sorular sormaya çalışıyorum.

Mesela, yanım yerine yukarıdaki teoremin sağlandığı durumlarda yoğun deseydik, senin taniminla bu yeni tanım aynı şey olur muydu?

Her topoloji kitabında yoğun alt küme ev süreklilik tanımları vardır.

Türkçe: Topoloji  İngilizce: Topology

Ama, bu teoremin doğru olması için hedef uzayın topolojisinde bir koşul  (Hausdorff olması) gerekiyor.

valla hocam bence benim yaptığım tanım R için yoğunluk tanımı ile denktir, üstelik yukarıdaki teoremi R^n'ye genişlemeye yardımcı olur, siz ne dersiniz?
Çok sağ olun hocam teşekkür ederim.
Bu tanımda 2 tane alt küme var.

Bir de, böyle bir tanıma göre, çok az yoğun küme olurdu. Yoğun olmanın, senin de belirttiğin teoremdeki gibi çok önemli sonuçları var. Bu nedenle, o özelliğe sahip daha çok yoğun alt küme olması iyi olur.

Öneğin Weierstrass ın (kapalı sınırlı aralıklarda) sürekli fonksiyonlar (metrik) uzayında polinomların yoğunluğu çok önemlidir.
Sağ olun Doğan Hocam, daha fazla incelemem lazımmış, teşekkürler.
Hocam Bolzano-Weierstrass teoremi R^n uzayına genişletilebilir mi?
Soğ olun hocam
19,421 soru
21,158 cevap
70,915 yorum
25,630 kullanıcı