$p\left( x\right) =\int _{0}^{x}(t-\left\lfloor t\right\rfloor -\dfrac {1} {2})dt$

Question

$f\left( x\right) =x-\left\lfloor x\right\rfloor -\dfrac {1} {2}$

$p\left( x\right) =\int _{0}^{x}f\left( t\right) dt$

soru: $p(x)$ nin $\left\lfloor x\right\rfloor$ cinsinden eşiti nedir?

ben integralini aldım $x-1/2$ ve ayrı olarak $\left\lfloor x\right\rfloor$'nın alıyım dedim. 

$\int _{0}^{x}\left\lfloor t\right\rfloor dt = \int _{0}^{1}0dt+\int _{1}^{2}1dt+\int _{2}^{3}2dt+\ldots + \int _{x-1}^{x}\left( x-1\right) dt = 0 + 1 + 2 + 3 + \ldots + x-1 = \dfrac {x\left( x-1\right) } {2}$

ama böyle olunca 0 çıkıyor $p(x)$ 'in değeri. nerde yanlış yapıyorum? zaten $\left\lfloor x\right\rfloor$ cinsinden de çekmemiş oluyorum.

Comments

tam sayı gibi düşünmüşüm $x$'i anladım, hatayı.

---

var mı cozumu hocam ;)

---

nope, cevap 0 cikmiyor zaten :D neden oyle demissem ama bence bu cozum zaten ya dogru o yaptigim

Answer 1

Mathematica soyle bir sey buldu.

$\displaystyle p(x)=-x \lfloor x\rfloor +\frac{\lfloor x\rfloor ^2}{2}+\frac{\lfloor x\rfloor }{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}$

 

Bu arada $\{x\}$, $x$'in kesir kismini gostermek uzere $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ iliskisi var. Dolayisiyla $f(x)=\{x\}-\frac{1}{2}$ olur.

 

Answer 2

$n$ bir tam sayı olmak üzere $$\int_n^{n+1}(t-\lfloor t \rfloor)dt=\frac12$$ olur. Bunun dik köşeleri $1$ olan bir üçgen oluşturduğunu görmek zor değil. Dolayısıyla $$p(x)=\int_{\lfloor x \rfloor}^{x}(t-\lfloor t \rfloor-\frac12)dt$$ integraline eşit olur. Yine üçgen dörtgen hesabı ile bu integral değeri $$\{x\}^2-\frac12\{x\}$$ olur.