Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
2.6k kez görüntülendi

r = 6sin3θ gülünün içinde ve r = 3 çemberinin dışında kalan bölgenin alanı isteniyor. 

Gülün yapraklarının uzunluğu 6 oluyor ve θ nın katsayısı 3 olduğu için üç yapraklı oluyor. 

Aşağıdaki şekilde grafiği çizip alanı belirlemeye çalıştım ama devamını getiremedim. Yardımcı olabilir misiniz?

Lisans Matematik kategorisinde (55 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2.6k kez görüntülendi
Kutupsal koordinatlarda (denklemi verilen) bölgenin alanının bulmayı biliyor musunuz?
Evet hocam ama sınırlarını belirlemekte sıkıntı yaşıyorum.
Önce, çember ile 3 yapraklı gülün kesişme noktalarını bulman gerekiyor.
Hocam çizdiğim grafikten de anlaşılacağı üzere üç tane eş alanın oluştuğunu düşünerek birinci bölgede gül ile çemberin kesişimini θ=π/18 buldum.
Çember, senin doğru çiziminki gibi, her yaprağı iki kez kesiyor. Diğer nokta için θ yı da simtriden kolayca bulabilirsin
θ=π/18 ve θ=35π/18, r'nin sınırları da 3 ve 6 mı oluyor hocam?
  1. r=6cosθ nereye gitti?
  2. integralin içine ne yazılacak?
r=6Sin3θ mı yoksa r=6cosθ mı hocam?
r=6sin(3θ),  y eksenine gore simetriktir, dolayisiyla grafiginiz yanlis.

Sanırım doğrusu böyle olmalı. 

Evet bu sekil dogru.
Evet haklısın, ben soruya değil, şekle bakarak, r=6cos3θ olmalı diye düşündüm (3 ü de yazmayı unutmuşum).

Şimdi çizilen şekil elbette r=6sin3θ eğrisi. Aynı yaprağı iki defa kesiyor çember. Diğer θ=?

Ve daha önemlisi hangi fonksiyonun integral alınacak?
Çok teşekkür ederim hocam.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Sari tarali bolgenin alanini bulup 6 ile carpmak yeterli.

Toplam alan =6[12π6π18([6sin(3θ)]2[3]2)dθ]

 

Alternatif olarak

Sari tarali bolgenin alanini bulup 3 ile carpmak yeterli.

Toplam alan =3[1213π18π18([6sin(3θ)]2[3]2)dθ]

(2.9k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Hocam çok teşekkür ederim.

İlk çözümde ve altenatif çözümde üst sınırı nasıl belirlediğinizi anlayamadım. Mümkünse izah edebilir misiniz?
Alan =βα12r2dθ  ile verilir.

 

Ilki icin ust sinir soyle bulunur. Ne zaman r=6 olur, yani max olur? Bunun icin sin(3θ)=1 olmali, burdan θ=π6 cikar.

 

Ikinci cozum icin ust sinir soyle bulnur. 6sin(3θ)=3sin(3θ)=123θ=π6+2πk,kZθ=13(π6+2πk),kZ

k=0θ=π18  alt sinir.

k=1θ=13π18 ust sinir.
Çok teşekkür ederim hocam.
20,295 soru
21,836 cevap
73,540 yorum
2,696,764 kullanıcı