Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
126 kez görüntülendi
$\mathbb{Z}[i]$ Halkasında iki eleman $z_1,z_2$ olsun. $ebob(z_1,z_2)$ nasıl hesaplanır?

Örnek olarak $1+2i$  ile $1+i$  sayılarının ebobunu nasıl bulabiliriz?
Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 126 kez görüntülendi
İki  Gauss tamsayısının ebob u nasıl tanımlanıyor?
$ z_1,z_2,\alpha,\beta \in\mathbb{Z}[i]$  olsun. Eğer

1. $\alpha \mid z_1$  ve $\alpha \mid z_2$

2. $z_1$ ve $z_2$'nin her $\beta$ ortak böleni için $\beta \mid \alpha$

ise $ebob(z_1,z_2)=\alpha$

biçiminde tanımlanıyor.
Tanım doğru ama hsaplamak için pek işe yaramıyor.

Bu tanımla öyle bir elemanın varlığı bile kesin değil.

Özelliklerini kullanmak işe yarayabilir. Veya etiketlerdeki Öklid Algoritmasını kullanmak işe yarayabilir.
Sanırım önce bildiğimiz anlamda $\mathbb{Z}$'de asal çarpanlara ayırmaya benzer bi durum düşünmek gerekiyor. Hatırladığım kadarıyla, $\mathbb{Z}[i]$'den $\mathbb{Z}$'ye aşağıdaki gibi bir fonksiyon tanımlamak lazım.

$f: \mathbb{Z}[i] \longrightarrow \mathbb{Z}$

$f(a+bi)=a^2+b^2$

Bu fonksiyon aşağıdaki üç özelliğe sahiptir.

$(1)$  $f(a+ib)=0 \Leftrightarrow a+ib=0$

$(2)$  Her $a+ib \in \mathbb{Z}[i]$ için, $f(a+ib)\geq0$ dır.

$(3)$ Her $(a_1+ib_1),(a_2+ib_2) \in \mathbb{Z}[i]$ için $f((a_1+ib_1)(a_2+ib_2)) = f(a_1+ib_1)f(a_2+ib_2)$ dır.

Tanımladığımız bu fonksiyon sayesinde, $\mathbb{Z}$ de bildiğimiz asal sayı kavramı, asal çarpanlara ayırma, ebob bulma vb. özelliklerin $\mathbb{Z}[i]$'de nasıl olabileceğini düşünmeye başlayabiliriz.

Hocam,

FLANDERS, H., 1985, A Tale of Two Squares and Two Rings, Mathematics Magazine, Vol 58, No 1 Jaunary 

https://bit.ly/3gloX5c

Linkini verdiğim makalede 5.sayfada bu halkadaki bölme algoritmasindan bahsetmiş. Ama somut olarak uygulamayı beceremedim bir türlü.

Öklid algoritması ile ebob bulmayı biliyor musun?
Tamsayilarda evet, ama Gauss tamsayilarina bunu uyarlayamiyorum hocam.
Tamsayılar için olanın neredeyse aynısı.
Tamsayılar için Öklid algoritmasını yazabilir misin?
Hocam somut olarak $1+2i$ ile $1+i$ sayılarına Öklid algoritmasini uygulayabilir misiniz? Bu şekilde belki anlayabilirim.

 

Bu sorunun arka planında, rasyonel sayıların sürekli kesir açılımlari yaparken pay ve paydaya Öklid algoritması uygulayarak bulabiliyoruz. Pay ve payda $\mathbb{Z}[i]$'nin elemanı olduğunda benzer bir yöntem ile sürekli kesir açılımı yapabilir miyiz fikri var.
Düzeltme:

$1+2i=1(1+i)+i$ (kalan: i Daha önce 1 yazmışım)

$1+i=(1-i)i+0$ olduğundan

ebob$(1+2i,1+i)=i$

AMA

-1,1,-i  sayıları da ebob koşulunu (her ikisini de bölmek ve her ikisin de bölen her sayıya bölünmek) sağlar.

Hangisine ebob diyeceğiz?
Hocam burda kalanin normu $\le \frac{1}{2}$bolenin normu eşitsizliği de sağlanmalı.
O tanımda $\frac12$ yok ki.

Ya kalan=0, ya da kalanın normu bölenin normundan küçük olmalı (Aynen tamsayılardaki Öklid algoritmasındaki gibi)
Hocam burada tanımlanan $v$ fonksiyonu yukarıda Ece hocamın tanimladigi $a+ib$ için $v(a+ib)=a^2+b^2$ ile tanımlı fonksiyon.

$v(1)<v(i)$ olmadığı için

$1+2i=1(1+i)+i$ yazamayız.
Orada 1+2i, 1+i ye bölünüyor. Bölen 1+i, kalan i.

v(i)=1<2=v(1+i)
18,541 soru
20,842 cevap
67,815 yorum
19,255 kullanıcı