Gauss Tamsayilar halkasında Öklid Algoritmasını nasıl yapabiliriz?

Question

$\mathbb{Z}[i]$ Halkasında iki eleman $z_1,z_2$ olsun. $ebob(z_1,z_2)$ nasıl hesaplanır?

Örnek olarak $1+2i$  ile $1+i$  sayılarının ebobunu nasıl bulabiliriz?

Comments

İki  Gauss tamsayısının ebob u nasıl tanımlanıyor?

---

$z_1,z_2,\alpha,\beta \in\mathbb{Z}[i]$  olsun. Eğer

1. $\alpha \mid z_1$  ve $\alpha \mid z_2$

2. $z_1$ ve $z_2$'nin her $\beta$ ortak böleni için $\beta \mid \alpha$

ise $ebob(z_1,z_2)=\alpha$

biçiminde tanımlanıyor.

---

Tanım doğru ama hsaplamak için pek işe yaramıyor.

Bu tanımla öyle bir elemanın varlığı bile kesin değil.

Özelliklerini kullanmak işe yarayabilir. Veya etiketlerdeki Öklid Algoritmasını kullanmak işe yarayabilir.

---

Sanırım önce bildiğimiz anlamda $\mathbb{Z}$'de asal çarpanlara ayırmaya benzer bi durum düşünmek gerekiyor. Hatırladığım kadarıyla, $\mathbb{Z}[i]$'den $\mathbb{Z}$'ye aşağıdaki gibi bir fonksiyon tanımlamak lazım.

$f: \mathbb{Z}[i] \longrightarrow \mathbb{Z}$

$f(a+bi)=a^2+b^2$

Bu fonksiyon aşağıdaki üç özelliğe sahiptir.

$(1)$  $f(a+ib)=0 \Leftrightarrow a+ib=0$

$(2)$  Her $a+ib \in \mathbb{Z}[i]$ için, $f(a+ib)\geq0$ dır.

$(3)$ Her $(a_1+ib_1),(a_2+ib_2) \in \mathbb{Z}[i]$ için $f((a_1+ib_1)(a_2+ib_2)) = f(a_1+ib_1)f(a_2+ib_2)$ dır.

Tanımladığımız bu fonksiyon sayesinde, $\mathbb{Z}$ de bildiğimiz asal sayı kavramı, asal çarpanlara ayırma, ebob bulma vb. özelliklerin $\mathbb{Z}[i]$'de nasıl olabileceğini düşünmeye başlayabiliriz.

---

Hocam,

FLANDERS, H., 1985, A Tale of Two Squares and Two Rings, Mathematics Magazine, Vol 58, No 1 Jaunary 

https://bit.ly/3gloX5c

Linkini verdiğim makalede 5.sayfada bu halkadaki bölme algoritmasindan bahsetmiş. Ama somut olarak uygulamayı beceremedim bir türlü.

---

Öklid algoritması ile ebob bulmayı biliyor musun?

---

Tamsayilarda evet, ama Gauss tamsayilarina bunu uyarlayamiyorum hocam.

---

Tamsayılar için olanın neredeyse aynısı.

---

Tamsayılar için Öklid algoritmasını yazabilir misin?

---

Hocam somut olarak $1+2i$ ile $1+i$ sayılarına Öklid algoritmasini uygulayabilir misiniz? Bu şekilde belki anlayabilirim.

 

Bu sorunun arka planında, rasyonel sayıların sürekli kesir açılımlari yaparken pay ve paydaya Öklid algoritması uygulayarak bulabiliyoruz. Pay ve payda $\mathbb{Z}[i]$'nin elemanı olduğunda benzer bir yöntem ile sürekli kesir açılımı yapabilir miyiz fikri var.

---

Düzeltme:

$1+2i=1(1+i)+i$ (kalan: i Daha önce 1 yazmışım)

$1+i=(1-i)i+0$ olduğundan

ebob$(1+2i,1+i)=i$

AMA

-1,1,-i  sayıları da ebob koşulunu (her ikisini de bölmek ve her ikisin de bölen her sayıya bölünmek) sağlar.

Hangisine ebob diyeceğiz?

---

Hocam burda kalanin normu $\le \frac{1}{2}$bolenin normu eşitsizliği de sağlanmalı.

---

O tanımda $\frac12$ yok ki.

Ya kalan=0, ya da kalanın normu bölenin normundan küçük olmalı (Aynen tamsayılardaki Öklid algoritmasındaki gibi)

---

http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/nt/ch9.pdf   den

---

Hocam burada tanımlanan $v$ fonksiyonu yukarıda Ece hocamın tanimladigi $a+ib$ için $v(a+ib)=a^2+b^2$ ile tanımlı fonksiyon.

$v(1)<v(i)$ olmadığı için

$1+2i=1(1+i)+i$ yazamayız.

---

Orada 1+2i, 1+i ye bölünüyor. Bölen 1+i, kalan i.

v(i)=1<2=v(1+i)