Sanırım önce bildiğimiz anlamda Z'de asal çarpanlara ayırmaya benzer bi durum düşünmek gerekiyor. Hatırladığım kadarıyla, Z[i]'den Z'ye aşağıdaki gibi bir fonksiyon tanımlamak lazım.
f:Z[i]⟶Z
f(a+bi)=a2+b2
Bu fonksiyon aşağıdaki üç özelliğe sahiptir.
(1) f(a+ib)=0⇔a+ib=0
(2) Her a+ib∈Z[i] için, f(a+ib)≥0 dır.
(3) Her (a1+ib1),(a2+ib2)∈Z[i] için f((a1+ib1)(a2+ib2))=f(a1+ib1)f(a2+ib2) dır.
Tanımladığımız bu fonksiyon sayesinde, Z de bildiğimiz asal sayı kavramı, asal çarpanlara ayırma, ebob bulma vb. özelliklerin Z[i]'de nasıl olabileceğini düşünmeye başlayabiliriz.