Cisim inşa etme

Question

8 elemanli bir cismi inşa ederek en az iki elemanın çarpımsal tersini bulunuz.

ben 8elemanşı cismi inşa ettim onu yaptım fakat en az iki elemanın çarpımsal tersini nasıl bulucaz?Uzaktan eğitimle ders notlarından çalışmak durumundayız ve yeterli gelmiyor ders notlar

Comments

Sekiz elemanlı cismi nasıl inşa ettiniz?

---

bu şekilde buldum.ama yinede doğruluğundan pek emin değilim

---

Cismin çarpım tablosunu yazabilir misiniz?

---

ama devamını yapamadım.

---

Polinom çarpımı yapıp idealdeki terimleri sileceksin.

---

Cisim oldugu icin her elamanin tersi vardir. Birim elemanin tersi  kendisidir, birim elemani bulursan 1 ornek vermis olursun..

 

$x$ ve $x^2+1$ birbirinin tersidir. Cunku $x(x^2+1)=x^3+x=-1=1\in \mathbb{Z}_2[x]$

---

Notasyonunuz biraz kafami karistirdi dogrusu. Cismin elemanlari sunlar olmali $\{0,1,x,x+1,x^2,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1\}$

---

$x^3 +x$ neden -1e eşit oluyor ve daha sonra nasıl 1e eşit oluyor?

---

Polinom bolum halkalarinda $\mathbb{Z[x]}/<x^3+x+1>$,  uretec yani $<x^3+x+1>$ sifir kalanlidir. Yani $x^3+x+1=0\implies x^3=-x-1=x+1\in \mathbb{Z}_2$. Yani carpim yaptiginda ve $x^3=x+1$ alarak dereceyi dusurebilirsin.. Ayni sekilde $x^4=xx^3=x(x+1)=x^2+x$ olur..

 

$-1=1\in\mathbb{Z}_2$ kisminin asikar oldugunu dusunuyorum..

 

Benzer sekilde $x^3+x+1=0\implies x^3+x=-1=1\in \mathbb{Z}_2$ de denebilir..

---

Bunu anladım teşekkür ederim.Şimdi tabloda bunları yerine yazdığımda yani çarpımları yaptığımda birim elemanları bulmam çarpımsal terslerini bulmam anlamına geliyor o halde.Doğru anladım mı bilmiyorum.

---

Evet oyle, satir ve sutun carpimlari 1'i veriyorsa, o satir ve sutundaki elemanlar birbirin tersidir.. Kalan siniflarini soyle alirsan isin daha kolay olur $\{0,1,x,x+1,x^2,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1\}$. Bu arada islemlerin $\mathbb{Z}_2$ de oldugunu unutma.

---

bu şekilde yapıp xküp+x+1=0 olarak alıp düzenliycem sonra 1çıkanlar ters elemanlar oluyor