Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
472 kez görüntülendi

\begin{cases} x(t)=a\cos^3t & \\y(t)=a\sin^3t\\\end{cases} parametrik denklemi ile verilen astroit eğrisinin $y=x$ doğrusu etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel yüzeyin alanı nedir ?

notu ile kapatıldı: Soru sahibinin soru ile ilgili denemelerini yazması bekleniyor.
Lisans Matematik kategorisinde (15 puan) tarafından 
tarafından kapalı | 472 kez görüntülendi
lütfen DOGANDÖNMEZ HOCAM TAM ÇÖZÜMÜNÜ ATARMISNNIZ LÜTFEN

En azindan sunu yazabiliriz.

 

Egrinin $x$ ekseni etrafinda dondurulmesiyle olusan yuzey alani $S$ olsun.

 

$S=2\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}y(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt\quad$,  $\alpha\leq t\leq\beta$

 Ben $x$ ekseni yani $y=0$ dogrusu etrafinda dondurulunce olusan yuseyin alanini bulayim, kendi sorunuzu benzer seklide cozersiniz.

 

 

$(x,y)=(0,a) $ olmasi icin $t=\frac{\pi}{2}=\beta$ ve $(x,y)=(a,0) $ olmasi icin $t=0=\alpha$ olmali. Bu sinirlar sadece sag taraftaki (y=eksenin sagi) yuzey alanini verir. Bunu 2 yle carparak toplam yuzeyi buluruz, yuzey simetrik oldugu icin.

\begin{align}S=&4\pi\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\sin^3(t)\sqrt{[-3a\cos^2(t)\sin(t)]^2+[3a\sin^2(t)\cos(t)]^2}dt\\=&4\pi\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\sin^3(t)\sqrt{9a^2\cos^4(t)\sin^2(t)+9a^2\sin^4(t)\cos^2(t)]}dt\\=&4\pi\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\sin^3(t)\sqrt{9a^2\cos^2(t)\sin^2(t)[\cos^2(t)+\sin^2(t)]}dt\\=&4\pi\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3a^2\sin^4(t)\cos(t)dt\\=&12a^2\pi\displaystyle\int_{0}^{1} u^4du\\=&12a^2\pi \frac{u^5}{5}\Big|_{0}^{1}\\=&\frac{12a^2\pi}{5}\end{align}

 

Tabi sizin sorunuzda donme ekseni $y=x$ dogrusu. Ders notlarinizda varsa buraya ekleyebilirsiniz genel formulu.

19,671 soru
21,379 cevap
71,800 yorum
164,590 kullanıcı