Karınca lastik sorusu

Question

Uzunluğu 10 cm olan lastik bir ucundan sabitlenir. Sabitlenen nokta üzerine bir karınca bırakılır ve aynı anda lastik diğer uçtan 1 cm/s sabit hızla uzatılır. Karıncanın lastik üzerindeki bağıl hızı 1 cm/s ise karınca diğer uca kaç saniyede ulaşır?
(lastik heryerinden homojen standart şekilde uzamaktadır)

Comments

Başlangıç sıfır noktasında karıncanın hızı 1 cm/s ancak lastiğin uzama etkisiyle diğer uca yaklaştıkça karınca 2 cm/s hızına ulaşıyor.

---

Karınca lastik üzerinde herhangi bir x noktasında iken hız ifadesini yazın.

---

Hız denklemi kurmak zor zira lastik boyu sürekli değişiyor. Ben yine uzun yoldan denedim lastiği n parçaya böldüm. Herbir n parçaya ayrı ayrı ulaşırken geçen süreye göre lastik parçalarının boyunu o oranda uzattım. O şekilde bulmaya çalıştım.

---

Lastiği n parçaya bölmeyin. Lastiğin sabit ucunun hızı sıfır. Serbest ucunun hızı da 1 cm/s. Lastik homojen standart şekilde uzuyorsa, aradaki bir noktanın hızını oran-orantı ile yazabilirsiniz.

---

Karıncanın total Hızı = 1+(lastiğin kaçta kaçında ise) :)

---

Doğru ama bence lastiğin üzerine bir koordinat sistemi yerleştirin. Karıncanın bulunduğu noktayı x ile ifade edin. Hızı x cinsinden yazın. Bir diferansiyel denklem elde edeceksiniz. Onu çözmeniz lazım.

---

Ben nasıl yaptım onu anlatayım integralle pek aram yok unuttum 15 sene oldu.

n parçaya bölünce

t(parça1)= [10/n]*1

t(p2)= [10/n]*[1+1/n]
t(p3)= [10/n]*[1+1/n]^2
t(p4)= [10/n]*[1+1/n]^3 ......

t(pn)= [10/n]*[1+1/n]^(n-1)

t(total)= 10(e-1)  =~ 17.1

---

Yol ile hızı çarpıp zamanı bulmuşsunuz galiba:) Ama zaten böyle olmaz bence.

Karınca x noktasındaysa, hızı 1+x/10. Buna v diyelim, yani v=1+x/10. Ama v zaten dx/dt.

---

Yol / hız = zaman.   
n parçanın herbiri için zaman her seferinde 1+1/n kat artıyor. Uzun uzun yazmak gerekiyor daha iyi anlaşılması için.
en son (1+1/n)^n sayısına ulaşıyoruz o da limit sonsuzda = e sayısı
Üstad cevap nedir onu yazsana. Differansiyel ile kısa yolu vardır mutlak

---

Yayın ucunun zaman $t$ ye göre hız ve konum fonksiyonları

 

$$\vec{v}_1 (t) = 1$$

 

ve

 

$$\vec{x}_1 (t) = 1 + t $$

 

iken

 

Karıncanın hareket fonksiyonları,

 

$$\vec{v}_2 (t) = 1 + \dfrac{t}{t+10}$$

 

ve

 

$$ \vec{x}_1 (t) = \int \vec{v}_2 (t) dt $$

 

$$ \vec{x}_1 (t) = \int (1 + \dfrac{t}{t+10}) dt $$

 

$$ \vec{x}_1 (t) = 2t - 10 ln(t+10) + c $$

 

integral sabiti $c$ yi de karınca başlangıçta

 

$$ \vec{x}_1 (0) = 0 $$

 

başlangıç koşulunu göz ederek,

 

$$ \vec{x}_1 (0) = - 10\ln(10) + c  = 0 $$

 

$$ c =  10 ln(10)  $$

 

olur. Ve  $\vec{x}_1 (t)$ de

 

$$ \vec{x}_1 (t) = 2t - 10 \ln(t+10) + 10 ln(10) $$

 

olmuş olur. Karınca ipin ucuna geldiği an ya anlarda

 

konum fonksiyonları aynı değeri alacaktır,

 

$$ \vec{x}_1 (t) = \vec{x}_2 (t)  $$

 

$$ 2t - 10 \ln(t+10) + 10 \ln(10) = 10 + t $$

 

$$ t - 10 \ln(t+10) = 10 - 10\ln(10) $$

 

Tüm ifadeyi üstel $e$ li hale getirirsek

 

$$ \dfrac{e^t}{e^{\ln(t+10)^{10}}} = \dfrac{e^10}{e^{\ln(10)^{10}}}$$
 

$$ \dfrac{e^t}{(t+10)^{10}} = \dfrac{e^{10}}{(10)^{10}} $$

 

ifadenin çözümü için de şöyle düşündüm:

 

eğer böyle bir $t$ varsa bu  

 

$$   \lim_{t \rightarrow T }\dfrac{e^t}{(t+10)^{10}}  =  \dfrac{e^{10}}{(10)^{10}}  $$

 

bu ifade olmalı büyük $T$ yi $\infty$ gibi düşünüp limiti $\dfrac{\infty}{\infty}$ belirsizliğini

 

aşmak için 10 kere pay ve paydayı türevlersek,  ifademiz

 

$$   \lim_{t \rightarrow \infty }\dfrac{e^t}{10!}  =  \dfrac{e^{10}}{(10)^{10}}  $$

 

olur ve de $\infty$ den tekrar $T$ ye dönüşümü yaparsak,

 

$$   \dfrac{e^T}{10!}  =  \dfrac{e^{10}}{(10)^{10}}  $$

 

$$   e^T  =  \dfrac{{10!} e^{10}}{(10)^{10}}  $$

 

bu ifadenin de yine logaritmasını alırsak,

 

$$   T  =  \ln{10!}  +  \ln {e^{10}}  - (10)\ln{10}  $$

 

olur. Bu sonuç da
 

$$   T  \approx 2.07856   $$ s  sonucunu buluruz.

---

LaTex kodunun içerisinde kelimeler arasına "\:" (boşluk) eklemeniz daha doğru olucaktır. Kodunuz da da ufak düzeltmeler yapılmalı bence hocam.

---

teşekkür ederim.  tüm kelimeler arasına mı?

---

Yani cevap 2,07 mi

Olamaz, yanlış cevap

Cevap

t(total)= 10(e-1)  =~ 17.1

17,1 saniye

Lastik 10 cm karıncanın bağıl hızı 1 cm/s ise zaten sonuç 10 saniyeden uzundur en basit düşünce ile.

---

haklısınız, mantıksız oldu. sizce karıncanın hızı için yazılan ifade

$$ \vec{v}_{1} (t) = 1 + \dfrac{t}{t+10} $$

doğru mu?

---

Bence hatalı gibi zira lastik sürekli uzuyor. Hızın değişkeni daha karmaşık.

t/(t+10) kısmını düzeltmek gerekiyor.

Ancak diferansiyel çözümünü bilmiyorum.

---

$$ 1 + \dfrac{t}{t+10} $$  burada payda zaten yayın boyu paydaki $$t$$ ise yayda bulunulan yer diye düşündüm.

---

t zaman mı konum mu

farketmez bu denklemde eksik bişey var sanki.

Çünkü karınca lastiğin sonuna varamaz bu denklemde.

---

Benim yazdıklarım da doğru değilmiş şimdi farkettim.

---

$t$ zaman

ifade ise hız

bunun integralini alıp konumu hesaplamıştım

sonra da yayın ucuyla birleştirdim.

---

Şu soruyu yanıtlamak gerek: lastik sağ ucundan 1 cm/s hızla çekiliyorsa, 1 saniye sonra uzunluğu 11 cm mi olur?

---

Lastiğin boyu 1 sn sonra 11cm olur o kesin. 10 sn sonra da lastik 20cm olur.

---

Bana o kadar kesin gibi gelmedi. Bu varsayım ile çözümü yazayım. $L(0)=10$ ve 1 cm/s hızıyla düzgün uzuyor, demek ki $L(t)=10+t$.

Şimdi karınca $x$ noktasında olsun. Burada lastiğin hızı, $x$ noktasının $L$'nin kaçta kaçı olduğuna bağlı, ve oran-orantı yapabiliriz. $x=0$'da hız $0$, $x=L$'de hız 1 cm/s. Demek ki, ortadaki bir $x$ noktasında hız $x/L$. Karınca buna göre 1 cm/s hızıyla gidiyor, demek ki hızı $v=1+x/L$. Tabii aynı zamanda $v=dx/dt$. Yani,

$$\frac{dx}{dt}=1+\frac{x}{L}$$

$$\frac{dx}{1+x/L}=dt$$

Integral alalım; $t=0$ iken $x=0$, $t=t_{\rm son}$ iken $x=L$ :

$$\int\limits_0^L \frac{dx}{1+x/L}=\int\limits_0^{t_{\rm son}}dt$$

Buradan $t_{\rm son}=L\ln{2}$ çıkar. Ama yukarıdan $t=t_{\rm son}$ iken, $L=10+t_{\rm son}=10+L\ln{2}$. Buradan da

$$t=\frac{10}{1-\ln{2}}\ln{2}\approx 22.6$$ çıkıyor.

Ama bu yaptığıma kendim pek inanmadım. Yanlışı bulan biri çıkar belki.

---

hatamı buldum

 

$$ \dfrac{dx}{dt} = 1 + \dfrac{x}{t+10} $$

 

burada $1$ karıncanın yaya göre hızı

 

$\dfrac{x}{t+10}$  yayda bulunulan yerin hızı

 

buradadan devam edeceğim

---

Hah bu daha doğru görünüyor. Ama nasıl çözülüyor acaba

---

$$ \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{t+x+10}{t+10}$$

$$ dx (t+10) + dt (-x-t-10) = 0 $$

çözdüğümüzde $x$ ile $t$ nin kapalı fonksiyonu olarak

 

$$ f(x,t) = \dfrac{x}{t+10} - \ln{t+10} + m = 0 $$

olarak çözdüm

 

$t=0$ iken $x=0$ dan

 

$$ f(0,0) = 0 = m + \ln{10} $$

 

dan

 

$$ m = - \ln{10} $$

 

olur.

 

şimdi karıncanın zamana göre konum fonksiyonunu yazabiliriz

 

 

$$ x(t) = (t+10) ( \ln{10+t} - \ln{10} )$$

 

olur.

 

Ee zaten yayın ucu dağ

 

$$ 10 + t $$ lik bir konum

 

fonksiyonuna sahipti

 

bunları

 

eşitlersek

 

$$ t + 10 = (t+10) ( \ln{\dfrac{t+10}{10}}) $$

 

denklemi

 

$$ \dfrac{10+t}{10} = e$$

 

ve

 

$t$

de

$$ t = 10(e-1) $$

 

olur

Answer 1

yayın ucunun zamana göre konum fonksiyonu

 

$$ y(t) = 10 + t $$

 

olsun.

Karıncanın hız fonksiyonu

 

 $$ \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{t+x+10}{t+10}$$

 

ilişkisidir.

$$ dx (t+10) + dt (-x-t-10) = 0 $$

çözdüğümüzde $x$ ile $t$ nin kapalı fonksiyonu karşımıza

$$ f(x,t) = \dfrac{x}{t+10} - \ln{t+10} + m = 0 $$

çıkar.

 

$t=0$ iken $x=0$ dan

 

$$ f(0,0) = 0 = m + \ln{10} $$

 

dan

 

$$ m = - \ln{10} $$

 

olur.

 

şimdi karıncanın zamana göre konum fonksiyonunu yazabiliriz

 

 

$$ x(t) = (t+10) ( \ln{10+t} - \ln{10} )$$

 

olur.

 

Ee zaten yayın ucu dağ

 

$$ y(t) = 10 + t $$ lik bir konum

 

fonksiyonuna sahipti

 

bunları

 

eşitlersek

 

$$ t + 10 = (t+10) ( \ln{\dfrac{t+10}{10}}) $$

 

denklemi

 

$$ \dfrac{10+t}{10} = e$$

 

ve

 

$t$

de

$$ t = 10(e-1) $$

 

olur