Diferansiyel Denklemlerde Genel Çözüm bir tane olmak zorunda mıdır ?

Question

Öncelikle belirtmeliyimki aşağıdaki soru örgüsü hiçbir yerden alıntı değildir.

$ E : (y'')^2 -y^2 = 0 $ diferansiyel denklemini göz önüne alalım.

Bu diferansiyel denklem iki çözüm imkanı sunar.

$ (1) $  $ y'' - y = 0 $

$ (2) $  $ y''+y = 0 $

Birinci diferansiyel denklemin genel çözümü : $ y = c_1e^x+c_2e^{-x} $

İkinci diferansiyel denklemin genel çözümü : $ y = k_1\cos(x) + k_2\sin(x) $

Soru : Bu iki çözüm imkanının genel çözümleri en baştaki $E$ Diferansiyel denkleminin bir çözümüdür. ''Genel Çözüm'' tanımına göre bu iki çözümünde baştaki $E$ diferansiyel denklemin ''genel'' çözümü olması gerekir. Lineer olmayan diferansiyel denklemlerde genel çözüm kavramı geçerli değil midir ? onun yerine sadece ''çözüm'' adı mı verilir ? Yoksa ''iki genel çözümü var'' diye nitelendirmemizde sakınca bulunmaz mı ?

Answer 1

operatör teorisine göre türev operatörünü çarpanlarına ayırman mümkün. denklemi 

(d^2/dx^2-1)(d^2/dx^2+1)y=0 olarak yaz daha sonra (d^2/dx^2+1)y=v dönüşümü yap, o halde denklemimiz (d^2/dx^2-1)v=0 olur, buradan v'yi bul 

(d^2/dx^2+1)y=v denkleminde yerine koy y'yi bul.

Comments

Hocam ben diferansiyel denkleminin çözümünde değilim. Bu diferansiyel denklem zaten çözülmüş biçimdedir. Ve ortada iki tane çözüm imkanı çıkıp bu çözüm imkanlarının genel çözümleri bulunmuştur. Bu iki genel çözümde en baştaki E diferansiyel denkleminin çözümleridir . Sormak istediğim soru : Bu iki çözümde içerisinde iki tane esaslı keyfi sabit barındırmakta dolayısıyla Genel Çözüm tanımına göre bu iki çözümde bu E diferansiyel denkleminin Genel çözümü olması gerekmiyor mu ? 

---

Diferansiyel denklemlerin faktörizasyonu hakkında biraz araştırma yap, lineer olmayan DD'lerin çözüm sayısı hakkında(çoğu analitik çözülmez) bilgin o zaman tam olarak olacaktır.

Answer 2

Iki cozumde dif denklemi saglar. Yani bu dif denklemin iki cozumu var.

$(c_1e^x+c_2e^x)^{"}-(c_1e^x+c_2e^x)^2=0\quad\checkmark$

$(k_1\cos(x)+k_2\sin(x))^{"}-(k_1\cos(x)+k_2\sin(x))^2=0\quad\checkmark$

Comments

kıymetli hocam , bu çözümlerin baştaki diferansiyel denklemin (E)  çözümleri olduğu konusunda hemfikirim zaten . Benim konum '' Genel Çözüm'' karmaşası. GENEL ÇÖZÜM TANIMI : n. mertebeden bir diferansiyel denklemin , içerisinde n tane esaslı keyfi sabit barındıran çözümüne Genel Çözüm denir.  O zaman bu tanıma göre E diferansiyel denkleminin 2 tane genel çözümü vardır bunlarda belirttiğim (1) ve (2) çözüm imkanlarının ürünleridir.

---

Lineer olmayan dif denklemlerde superposisyon kurali gecerli degil. Yani bu iki cozumden genel cozum elde etmek mumkun olmayabilir..