Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
474 kez görüntülendi

Tam sıralı (sup=eküs özelliğine sahip) bir cisim, sayılamaz bir kümedir.

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 474 kez görüntülendi
"Tam sıralı cisim $\mathbb{R}$ ye izomofiktir, dolayısıyla, $\mathbb{R}$ ile eş kuvvetlidir, $\mathbb{R}$ sayılamaz olduğu için o cisim de sayılamazdır" dışında doğrudan bir ispat yapılabilir.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bunu göstermek için Tam sıralı cisimlerin 2 özelliği yeterli olacaktır.

1. En büyük eleman yoktur ve herhangi iki (farklı) eleman arasında sonsuz çoklukta eleman vardır. (bunlar tüm sıralı cisimlerde doğrudur)

2. İçiçe sınırlı ve kapalı aralıkların kesişimi boş olamaz.

İspat: Bir $f:\mathbb{N}^+\to\mathbb{F}$ 1-1 ve örten fonksiyonunun var olduğunu varsayalım. Bir çelişki elde deceğiz.

$f(1)=a_0$ diyelim. $k_1\in\mathbb{N}^+$ $f(k_1)>a_0$ şeklindeki en küçük doğal sayı olsun. ($k_1>1$ dir.) $a_1=f(k_1)$ diyelim.

$k_2\in\mathbb{N}^+$, $a_0<f(k_2)<a_1$ şeklindeki en küçük doğal sayı olsun. $k_2>k_1$ olur.  $a_2=f(k_2)$ diyelim.

$k_3\in\mathbb{N}^+$, $a_2<f(k_3)<a_1$ şeklindeki en küçük doğal sayı olsun. $k_3>k_2$ olur.  $a_3=f(k_3)$ diyelim.

Bu şekilde , tümevarım ile, bir $(k_n)$ kesin artan doğal sayılar dizisi oluştururuz. Bu dizi için $f(k_{n+1})=a_{n+1},\ a_{n}$ ile $a_{n-1}$ arasındadır (ikisine de eşit değil) ve $k_{n+1}>k_n $ bu özellikteki en küçük doğal sayıdır.

($n$ tek ise $f(k_n)>f(k_{n-1})$ , $n$ çift ise $f(k_n)<f(k_{n-1})$)

($a_0<a_2<a_4<\cdots<a_{2n}<\cdots<a_{2n-1}<\cdots<a_3<a_1$ olur.)

$[a_{2n-2},a_{2n-1}]\ (n\geq1)$ içiçe kapalı sınırlı aralıklar dizisinin arakesiti boş olamaz.

$x\displaystyle\in\bigcap_{n=1}^\infty[a_{2n-2},a_{2n-1}]=[\sup \{a_{2n}\},\inf \{a_{2n-1}\}]$ olsun.

$\forall n\in\mathbb{N}^+$ için $a_{2n-2}<x<a_{2n-1}$  olur.

($a_0<a_2<a_4<\cdots<a_{2n}<\cdots <x<\cdots<a_{2n-1}<\cdots<a_3<a_1$ olur.)

$f$ örten olduğu için $f(K)=x$ olacak şekilde bir $K\in\mathbb{N}^+$ vardır.

$x\neq a_n\forall n\in\mathbb{N}$ olduğundan $K\neq k_n \forall n\in\mathbb{N}$ olur.

O zaman

$k_n<K<k_{n+1}$ olacak şekilde (tek) bir $n$ doğal sayısı vardır.

$x=f(K)$, $a_{n-1}$ ile $a_n$ arasındadır. Ama bu, $k_{n+1}$ in, $f(k_{n+1}),\ a_{n-1}$ ile $a_n$ arasında olacak şekildeki en küçük doğal sayı olması ile çelişir.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Burada biraz farklı bir çözüm var.

20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,055,355 kullanıcı