Matematik Olimpiyatı 2019 2.aşama

Question

Herkese merhabalar .Şöyle bir soruya denk geldim.

Her n pozitif tam sayısı için d(n) ile n in pozitif bölenlerinin sayısını gösterelim. k verilmiş bir tek sayı olmak üzere ;

  obeb(k,d(a1),d(a2),......d(a2019)=1 olmasını sağlayan bir (a1,a2,a3,a4...a2019) artan aritmetik pozitif tam sayı dizisi bulunduğunu gösteriniz.

Ben bu soru için şöyle bir düşünce geliştirdim.Şimdi k yı bir asal alalım 3,5,29  vs..  aN leri de aN=2n

olarak alırsak bu k asalı aN lerin hepsiyle olmasada büyük çoğunluğuyla(1 tanesi ile aralarında asal olsa dahi yeter)asal olduğundan obebleri 1 çıkar. Mesela  asalımızı 3 alsak aN LER 2,4,6,8... gibi olucak ve 6n tarzındaki sayılar hariç  3 bunlarla aralarında asal olucak.

obeb(3,2,4,6,8,10,12,14............4038) ifadesi için hepsini birden ortak bölen bir sayı olmadığı için sonucu 1 çıkmalı.Yani aradığımız aritmetik dizisi a1= 2 ve ortak farkı r=2 olan bir aritmetik dizi bulunmuş oluyor.Bunu sadece 2n değil 4n,8n,16n,32n vs. diziler de sağlar.

Bu şekilde bir çözüm yaptım ama sorunun cevabını bulamadığımdan yaptıklarımdan emin olmadım.Çözümüm doğru mudur?Yanlışsa doğrusu nasıl bulunur?

Şimdiden teşekkür ederim.

Comments

Soruda obeb(k,d(a1),..,d(an))=1 olması isteniyor.

Sizin çözümünüzde ise 

obeb(k,a1,a2,..,an)=1 olmuş.

d yi hesaba katmamışsınız.

---

evet dikkatsizlik olmuş.Biraz daha düşüneceğim o zaman.

---

Peki şöyle birşey olabilir mi?Mesela a1=2019! olsun r=1 olsun yani terimler (2019!,2019!+1.....)

a1 ve a2 ... aN sayılarına bakarsak bunların herbirinin pozitif bölen sayısı d(a1),d(a2)..d(aN)   1 den büyük.Diyelim ki bu d(aN)lerin obebi p olsun.Şimdi k sayısını bu p ile aralarında  asal  olacak şekilde seçersek obeb(k,d(a1),d(a2)......)=1 olur.

Eğer bu sayıların obebi (k hariç)  1 se zaten işimiz daha rahat.k yi yine uygun bir asal alırsak obeb(k,d(a1),d(a2)....)=1  olur.

---

Biz k yı seçmiyoruz. k veriliyor.

---

Evet hocam bir hata daha oldu.Düşünmeye devam edeyim o zaman.

---

Sizin sorunuza göre $a_1$ asal seçilirse $d(a_1)=2$ olup $k$ tek sayısı ile $2$ aralarında asaldır. Dolayısıyla istenen en büyük ortak bölen $1$ olur. Çok basitçe çözülmesi şüpheli.

 

2019 Tübitak 2. Aşama sorusu yukarıdaki problemden daha farklı. $d(a_i)$ terimleri arasında virgül olmayacak. Doğru problemde, bunların çarpımı ile verilen $k$ sayısı aralarında asal olması isteniyor.

---

$a_1,a_2,\ldots,a_{2017}$  hepsi asal sayı ise $d(a_1)\cdot d(a_2)\cdots d(a_{2017})$ kaç olur?

---

Doğan hocam $a_1,a_2,\ldots,a_{2017}$ sayılarının hepsi asal ise $d(a_1)\cdot d(a_2)\cdots d(a_{2017})=2^{2017}$ olur. Fakat problemde $a_1,a_2,\ldots,a_{2017}$ pozitif tam sayıları için artan aritmetik dizi oluşu da veriliyor. Aritmetik dizi olan $2017$ terimli asal sayı dizisi bulmak (veya varlığını ispatlamak) gerekecek. Bu bana zor göründü.

---

Düzeltme:

haklısın lokman gökçe.

Ben aritmetik dizi kısmını görmemişim.

(Asal sayıların aritmetik dizisi yeni çözülen zor bir problem)