Silindirdeki 1 lt suyun 1 dakikada yüzde kaçı boşalır

Question

İçi 1 litre su dolu bir silindir tabanının köşesinden delinir ve su dışa akmaya başlar. Başlangıç boşalma hızı dakikada 1 litredir. Ancak akışın hızı suyun tabana yaptığı basınç ile orantılıdır yani su seviyesi yarıya inince akış hızı da yarıya iner. Silindirdeki suyun 1 dakikada yüzde kaçı boşalır?

Comments

Siz bu soruda ne düşündünüz / denediniz?

---

Orjinal bir soru

---

Siz çözüm için neler denediniz?

---

Öncelikle hız zaman grafiğini çizmeye çalıştım. Yarısını kaç dk, 3/4 ünü kaç dk onları bulmaya çalıştım. Riemann toplamları çıkıyor karşıma. ileri seviye İntegral limit hesabı çok yapamadım ama tahminlerim var.

---

Bir diferansiyel denklem kurabilir misin?

---

Denklem kuramadım Ancak silindiri n parçaya böldüğümde 1/2 seviye için süre 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n 1/4 seviye için süre 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/4n Bunlarda sanırım ln2 ve ln4 Sonuçta hız zaman denklemi y=e^-x gibi birşey çıkıyor

---

$t$ (dakika olarak) zaman, $h(t)$ suyun tabandan yüksekliği, ve $A$ silindirin taban alanı olsun.

Verilenleri, denklem olarak yazmayı dener misin?

(Suyun boşalma hızı türev ile ifade edilebilir.)

---

Soru gerçekten güzel bir soru. Çözümü de aynı derecede güzel olacaktır. 

Answer 1

$ t $: (dakika olarak) zaman, $ A $: silindirin taban alanı (birim önemsiz),

$ h(t):\ t $ anında suyun yüksekliği (birim önemsiz) olsun. 

$ V(t);\ t $ anındaki suyun hacmi olsun. ($Ah(t)$ nin birimi litre olsun)

$ V(t) =Ah(t)$ olur.

$ V'(t)=-ch(t),\ (c>0 $ bir sabit) olduğu verilmiş.

$ V(0)=Ah(0)=1 $ ve $ V'(0)=-ch(0)=-1 $ den 

(elbette $ h(0)\neq0 $ olmalı) $ A=c $  bulunur.

$ V'(t)=Ah'(t)$ den, $ h'(t)=-h(t) $ elde edilir.

Buradan, $ h(t)= h(0)e^{-t} $ bulunur.

$ V(t)=Ah(t)=Ah(0)e^{-t} =e^{-t}$ olur.

1 dakika sonra suyun hacmi: $ V(1)=e^{-1} $

Boşalan suyun miktarı: $ V(0)-V(1)=1-\frac1e$

 (Düzeltme: ben, daha önce, $1-\frac1e\approx0,732$ yazmışım. DrGDR nin yorumundan sonra farkedip, düzelttim)

Boşalan suyun oranı: $ \frac{V(0)-V(1)}{V(0)}=1-\frac1e\approx0,632 $

Yaklaşık %63,2 si boşalır.

Comments

Ellerinize ve zihninize sağlık Doğan hocam. Çözümde bir iki noktayı anlayamadım.

Soruda verildiğini söylediğiniz ve $c$ sabiti olarak aldığınız değer nedir. Dolayısıyla $V'(t)=-ch(t)$ eşitliğini nasıl yazdığınızı ve $h(t)=h(0)e^{-t}$ ile $V(t)=e^{-t}$ eşitliklerini

nasıl bulduğunuzu açıklayabilir misiniz? Teşekkürler.

---

1. $c$ sabiti aslında çözümde görüldüğü gibi silindirin taban alanına eşitmiş.

2. "akışın hızı suyun tabana yaptığı basınç ile orantılıdır yani su seviyesi yarıya inince akış hızı da yarıya iner." dan basınç suyun yüksekliği ile doğru orantılı olduğu için 

$V'(t)=-ch(t)$ (kaptaki suyun azalış hızı=akış hızı ) elde ediyoruz.

3. $h'(t)=-h(t)$ birinci derece sabit katsayılı diferensiyel denkleminin  çözümleri $h(t)=Ce^{-t}$ olur. ve $C=h(0)$ dır. 

4. Kaptaki $t$ anındaki suyun hacmi=taban alanı x yükseklik oluşundan $V(t)=Ah(t)$ oluyor.

---

Cevap çok güzel

Ben uzun yoldan yaptım. n parçaya bölerek. Riemann toplamları ile.

1-(1/e)=0,632

Yani suyun ~%63,2 si