Üç kişinin karşılaşma olasılığı?

Question

Bu sorunun  daha önceden benzerini değilde 2 kişi için olanını görmüştüm.Ben de değştirip 3 yaptım.Yani soru şöyle oldu:

3 arkadaş daha önceden belirledikleri bir alanda karşılacak.Diyelim ki saat 15:00 ile 16:00 arası olsun.Herhangi biri geldiğinde  10 dk bekleyecek ve diğer iki arkadaşıylada karşılaşırsa buluşacaklar.Aksi takdirde 10 dk bekleyip kimse gelmezse (2 sininde gelmesi lazım,biri gelir diğeri gelmezse yine buluşmuş olmayacaklar)gidecek.Buna göre bu 3 arkadaşın buluşma olasılığı kaçtır?

Ben açıkçası şöyle düşündüm.Öncelikle evrensel küme (E) 60*60*60 birimküplük bir hacim olsun dedim.Soruda verilen koşullarda  1.arkadaş x zamanında 2.arkadaş y ve 3.arkadaş z zamaında gelirse

Ix-yI<=10 Iy-zI<=10 ve Ix-zI<=10 eşitsizliğini sağlayan bölgenin grafiğini çizip hacmine de A dersek

olasılık A/E olur ama A yı hesaplayamadım çünkü 3 bilinmeyenli olunca grafik nasıl çiziilir hatırlayamadım.Güzel bir soru olacağını düşündüğüm için paylaşıyorum.

Comments

şu an farkettim benim yazdığım eşitsizlikler 2 bilinmeyenli bunu üç bilinmeyenli formata çevirip istenilen bölgeyi rarayıp öyle yapmak gerekiyor heralde.

Answer 1

2010 da, Burada geometrik olasılık ile ilgili problemler sunmuştum. $6.$ soru iki kişinin karşılaşma olasılığı ile ilgilidir. Proble_m kullanıcı isimli kişi de 3 boyutta olan çözümünü cabri 3D programıyla güzelce çizerek açıklamıştı. Şekli döndürerek sağına soluna bakabiliyorduk. (Maalesef o eklentiler kırılmış.) Ayrıca 2007'de $n$ kişi için de karşılaşma problemine bir genelleme verdiğini ifade etmiş. (Bu genelleme daha önce de biliniyor olabilir, araştırmadım.) Ben şöyle bir çizim ekleyeyim:

Küpün bir kenar uzunluğu $6$ birim olsun. Örnek uzay olan içi dolu küpün hacmi $E=6^3=216$ ve istenen durumların kümesi olan $|x-y| \leq 1$, $|y-z| \leq 1$, $|z-x| \leq 1$ eşitsizliğinin hacmi (sarı renkli bölge) $A$ olsun. $A$ nın hacmi, $3$ tane paralelyüzlünün ve bir birim küpün hacimlerinin toplamına eşittir. (Bunları şekilden görmeye çalışınız!) Paralelyüzlülern her biri için taban alanı $1$ birimkare ve yüksekliği $5$ birimdir. Buna göre $A=1^3 + 3\cdot 1^2\cdot 5 = 16$ olur. Aranan olasılığı $P(A)$ ile gösterirsek $$P(A) =\dfrac{16}{216} = \dfrac{2}{27}$$ elde edilir.

NOT: Eğer şekildeki paralelyüzlüleri görmekte zorlanırsanız; $2$ arkadaşın karşılaşması probleminde istenen alanın, iki paralelkenarın alanı ve bir karenin alanının toplamı olduğunu görmeye çalışınız. Bunu yaparsanız kesinlikle daha iyi fikir verecektir.