Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
253 kez görüntülendi

Doğru ve parabol denklemlerini eşitledim.

3ax+4a²=x²

x²-3ax-4a²=0 => -a ve 4a noktalarında kesişiyorlar. 

y(-a)=a² ve y(4a)=16a²

A(-a,a²) ve B(4a,16a²) noktalarını elde ettim. 


Grafiği çizdim ama oluşan üçgenin alanını nasıl bulurum orada tıkandım. 


Orta Öğretim Matematik kategorisinde (111 puan) tarafından  | 253 kez görüntülendi

(D nin koordinatını yanlış yazmışım. Düzelttim)

$C(-a,0)$ ve $D(4a,0)$ noktaları olsun.

$DBAC$ dik yamuğunun alanını ($a$ cinsinden) bulabilir misin?

Hocam niye 2a?

D(4a,0) olduğunda oluşan dik yamuğun alanı :

(17a²\2).5a olur. 


(D nin birinci koordinatı 4a olacaktı. Düzelttim)

Bu dik yamuğu, biri alanı 10 olan üç üçgenin birleşimi olarak düşünüp, diğer iki üçgenin alanlarını bulabilir misin?

Gerisini de sen yapabilirsin.

Hocam alanı 10 olan üçgenin ve diğer iki dik üçgenin alanlarından yararlanarak 

10 + a³/2 + 64a³/2 = 85a³/2 eşitliğini yazdım. 

a burdan 1 çıktı, bu şekilde çözüme ulaştım. 



Çözümünü cevap olarak yazabilir misin ecerhan.

Teşekkürler hocam. 

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

C(-a,0) ve D(4a,0) noktaları olsun. 

DBAC dik yamuğunun alanı a cinsinden 

(17a²/2).5a olur.

Alanı 10 olan üçgenin alanını ve diğer iki dik üçgenin alanını kullanarak şu eşitliği yazalım. 

10 + a³/2 + 64a³/2 =85a³/2

20a³=20 => a=1 

Doğru denklemi de 3x+4 olur.


(111 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Diğer bir yaklaşım da, köşelerinin koordinatları $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$  olan $ABC$ üçgensel bölgesinin alanı:$s(ABC)$ ise

$s(ABC)=\frac 12 |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$ formülünü kullanmaktır. Verilen soru ya göre doğru ile parabolün kesim noktaları:  

$x^2=3ax+4a^2\Rightarrow x^2-3ax-4a^2=0\Rightarrow (x-4a)(x+a)=0$  den  $x=-a, x=4a$ olur.  O zaman üçgenin köşeleri  $A(-a,a^2),\quad B(4a,16a^2),\quad O(0,0)$  olacak ve  formül yardımıyla,

$10=\frac12 |-a(16a^2-0)+4a(0-a^2)+0(a^2-16a^2)|$

$10=\frac12 |-16a^3-4a^3|\Rightarrow 20=|-20a^3|\Rightarrow a^3=1,\quad a^3=-1$

 ve buradan da $a=1, a=-1$ bulunur. Ancak  soruda $a>0$ koşulu verilmiş olduğundan istenilen doğru denklemi :$y=3x+4$ olacaktır.


Not: Yukarıdaki formülde hesaplanan alan değeri sıfır çıkarsa verin üç noktanın doğrusal olduğu anlaşılır. Bu sebeple bu formül bazen düzlemde verilen üç noktanın doğrusal olup olmadığının ispatında da kullanılır.

(19.2k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
$y$ ekseni bu üçgeni iki (eşit olmayan) parçaya bölüyor. Alanlarını bulup toplayacağız.
Taban olarak $y$ ekseni üzerinde kalan parçayı kullanacağız. Yükseklikler, $A$ ve $B$ nin $y$ eksenine uzaklıkları (=$x$ koordinatının mutlak değeri) olacaktır. ($a>0$ oluşundan)
Soldaki küçük üçgenin alanı$=\frac12(4a^2)a=2a^3$
Sağdaki küçük üçgenin alanı$=\frac12(4a^2)4a=8a^3$
Toplam alan$=10a^3=10$  dan $a=1$ bulunur.
(5.2k puan) tarafından 
19,128 soru
21,043 cevap
69,911 yorum
23,458 kullanıcı