Bir noktada sağdan türev ve türevin sağdan limiti eşit midir?

Question

(Bu soru  ile ilişkili)

$f:[a,b)\to\mathbb{R}$ şeklinde bir fonksiyon ve $f,\ (a,b)$ aralığının her noktasında türevlenebilir olsun.

Eğer 

$\displaystyle\lim_{x\to a^+}f'(x)=L,\ (L\in\mathbb{R})$ ve $f,\ a$ da sağdan sürekli ise

$\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L$ ( yani $f$ nin $a$ da sağdan türevi vardır ve $L$ ye eşittir.)

olduğunu gösteriniz.

$f$ nin $a$ sağdan türevlenebilir olduğu ama $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f'(x)$ limitinin var olmadığı bir örnek bulunuz.

(benzer durum soldan türev ve  iki taraflı türev için de geçerli)

Comments

İyi bilinen bir limit teoremini kullanarak bu iddianın ispatı çok kolay.

Answer 1

$f,\ a$ da sağdan sürekli olduğu için, (sağdan sürekli olmanın tanımı) $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$ dır.

 Bu nedenle, $\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ limitinde $\frac00$ belirsizliği vardır.

L' Hospital in Kuralını uygulamak istiyoruz.

$\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{\frac d{dx}(f(x)-f(a))}{\frac d{dx}(x-a)}=\lim_{x\to a^+}f'(x)$ olur. Kabulümüzden, bu limit $L$ sayısına eşit idi. Öyleyse (L' Hospital in Kuralından)

$\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L$ olur.

Ama

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^2\sin\frac1x & , & x\neq0 \\  0 & ,  & x=0\end{array}\right.$ fonksiyonunda

$f,\ 0$ da süreklidir ve $f'(0)=0$ olur (sitede var) . Ama, $x\neq0$ için $f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x$ olup $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f'(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f'(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to0}f'(x)$ limitlerinin hiçbiri mevcut değildir. Bu fonksiyon için ($f$ nin $a$ da türevii var olup) yukarıda gösterilen eşitlik doğru olmaz

Comments

Teşekkürler, hocam.

---

Son üç satırda yazıları biraz değiştirdim.