$f\left( x\right) =\dfrac {x}{1+\left| x\right| }$ bijektif fonksiyon mudur ?

Question

$f:\mathbb{R} \rightarrow \left( -1,1\right)$, $f\left( x\right) =\dfrac {x}{1+\left| x\right| }$ bijektif fonksiyon mudur ?

Sezgisel olarak bijektif olduğunu düşünüyorum ama yazıya dökemedim ne yapmalıyım?

1-1 için : $f\left( a\right) =f\left( b\right)$ ise $a=b$ , $\dfrac {a}{1+\left| a\right| }=\dfrac {b}{1+\left| b\right| }$ devamında $a=b$ ifadesini çıkaramadım

örten için : $ y=f(x)$ , $x$i yalnız bırakamadım 

Comments

Birebirlik:

Önce $f(x)=0$ denkleminin tek çözümünün $0$ olduğunu gör. Sonra:

Paydadaki terimin her zaman pozitif olduğunu görebiliyor musun? Bunu görebiliyorsan $f(a) = f(b)$ olmasının $a$ ile $b$'nin aynı işarete sahip olmasını gerektirdiğini de görebilirsin.

$f(a) = f(b)$ ve $a,b>0$ ise $a = b$ olduğunu gösterebilir misin?

---

hocam dediğinizi anladım aynı şekilde örtenlik için ne yapmalıym?

---

Limit kullanmaya izin var mı?

---

özel olarak bu yolla gösterin gibisinden bir şey belirtilmemiş kullanabiliriz fakat ben limit ile nasıl gösterildiğini bilmiyorum.