Sayı Problemleri

Question

Bir dolapta yan yana sıralı üzerinde 1, 2, 3, ..., 50 numaralarının yazıldığı kapalı durumda bulunan elli tane çekmece vardır. Elli kişi çekmecelere sırasıyla aşağıdaki gibi açma ve kapama işlemleri yapmaktadır. 

Birinci kişi çekmecelerin tamamını açıyor.

İkinci kişi üzerinde 2'nin katı numara bulunan çekmeceleri açıksa kapatıyor, kapalıysa açıyor.

Üçüncü kişi üzerinde 3'ün katı numara bulunan çekmeceleri açıksa kapatıyor, kapalıysa açıyor.

 Dördüncü kişi üzerinde 4'ün katı numara bulunan çekmeceleri açıksa kapatıyor, kapalıysa açıyor. 

 ......

Ellinci kişi üzerinde 50'nin katı numara bulunan çekmeceleri açıksa kapatıyor, kapalıysa açıyor. Bu şekilde ellinci kişiden sonra kaç tane çekmece açık durumda kalmış olur ?

Hocam nasıl bir yoldan gidebilirim ? 

Comments

Videoyu anlamadıysan detaylı bir çözüm yazabilirim

Answer 1

Fark ettiysen tek sayıda bölene sahip olanlar açık kalıyor.

Buradan sezgisel olarak görüyoruz ki sadece karesel sayılar tek sayıda bölene sahip.  

Yani anlayacağın üzere 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 numaralı çekmeceler açık kalır.

Comments

Hocam rica etsem biraz detaylandırır mısınız ?

---

Önce daha rahat anlatabilmek için şunu belirteyim.Açma ya da kapama işlemlerinin çatı adına dokunma adı takacağım.Bir kişi bir çekmeceye dokunmuşsa ya açmıştır ya da kapatmıştır.Ayrıca kişilere de numara vererek anlatmayı tercih edeceğim.

Bir çekmece çift sayıda kişi tarafından dokunulmuşsa (açma ya da kapama) sonuçta kapalı kalır.AKAKAK vb...Bir çekmece TEK sayıda kişi tarafından dokunulmuşsa sonuçta AÇIK kalır.AKAKA gibi

Peki şimdi de şunu düşünelim.Herhangi bir çekmeceye kimler dokunur(açar yada kapatır.)Örnek üzerinden başlayabiliriz.Örneğin 6 numaralı çekmece 1,2,3,6 nolu kişiler tarafından dokunulur.Yani her bir çekmeceye o çekmece numarasının pozitif tam böleni olan kişiler dokunuyor.

Şimdi yukardaki 2 bilgiyi harmanlayalım.Bir çekmeceye dokunanlar çekmece  numarasının pozitif tam bölenleri ve açık kalması için de tek sayıda dokunulmuş olması lazım.Buda demek oluyor ki,bir çekmecinin açık kalması için o çekmece numarısının pozitif tam bölenlerinin sayısının(PTBS) tek adette olmasıdır.PTBS nin bir mantığı(formülü) var.Sayı, asal çarpanlara ayrıldıktan sonra üsler birer artırılıp çarpılır.PTBS nin tek gelmesi için tüm çarpanlar yani tüm üslerin birer fazlaları tek olmak zorundadır.Bir fazlası tek olanın kendisi çifttir.Bundan dolayı üslerin hepsi çift olmak zorundadır.Bir sayı,asal çarpanlarına ayrıldığında tüm üsler çift gelmişse sayının kendisi tamkare sayıdır.Çünkü tamkarelerin çarpımının sonucu yine tamkaredir.Sonuç olarak açık kalacak çekmeceler tamkare numaraya sahip olan çekmecelerdir.

Answer 2

https://youtu.be/c18GjbnZXMw   Kusursuz bir açıklama... bu soru aslında çok iyi bilinen dolap bulmacası sorusudur