Bu ifadeyi verilenlerden nasıl hesaplayabilirim?

Question

• $a+b+c\neq0$

ve

• $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}=0$

ise

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

ifadesinin değeri kaçtır?

Comments

İlk koşul sanırım $a+b\neq0$,  $a+c\neq0$,  $c+b\neq0$ olmalı.

 $a=b=1, c=-2$ koşulları sağlıyor. 

O zaman, toplam -3 bulunuyor. 

Başka (bu üç sayının permütasyonu veya katları dışında) üçlü bulabilir misin?

---

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$ toplamını (uzun uzun) hesaplayabilir misin?

---

Cevap $1$ gözüküyor.

---

Ben o cevaba (ispatını görmeden) inanmıyorum. 

Answer 1

$ a+b+c=k $   $olsun.$  $(k≠0)$

$$\left.\begin{array}{rr} a=k-b-c \\ \mbox{} \\ b=k-a-c \\ \mbox{} \\ c=k-a-b \end{array}\right\} olur.$$

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}=0$

$\frac{a.a}{b+c}+\frac{b.b}{a+c}+\frac{c.c}{a+b}=0$

$\frac{a(k-b-c)}{b+c}+\frac{b(k-a-c)}{a+c}+\frac{c(k-a-b)}{a+b}=0$

$\frac{ak-a(b+c)}{b+c}+\frac{bk-b(a+c)}{a+c}+\frac{ck-c(a+b)}{a+b}=0$

$\frac{ak}{b+c}-a+\frac{bk}{a+c}-b+\frac{ck}{a+b}-c=0$

$\frac{ak}{b+c}+\frac{bk}{a+c}+\frac{ck}{a+b}=a+b+c$

$k(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})=a+b+c$

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{k}$

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=1$

Comments

http://matkafasi.com/124538/bakar-misiniz-yapamadim

sorusuna yapıan yorumlarda biraz daha kısa bir çözüm yapılmış.

---

Anlaşılır olsun diye her aşamasını tek tek yazdım. Mantığı kavradıktan sonra tek tek bu aşamaları yapmasına gerek yok zaten. Çözüm olarak bakıldığında a²,b²,c² yi ayırıp a,b,c yerine k'lı ifadelerini yazdığında gerisi 4 işlem zaten. Alternatif cevaplar da tek çatı altında toplansa güzel olur.

---

Çok açık ve güzel, teşekkür ederim.