Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
147 kez görüntülendi

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sonsuz (=istendiği kadar) kez türevlenebilen, $f(0)=0,\ f(1)=1$ ve her $x\in\mathbb{R}$ için $f(x)\geq0$ koşullarını sağlayan bir fonksiyon olsun.

En az bir $n>0$ doğal sayısı ve en az bir $x\in\mathbb{R}$ için $f^{(n)}(x)<0$ olduğunu gösteriniz.

($f^{(n)}(x),\ n$-inci basamaktan türev)

(edit:$f^{(n)}(x)<0$ yerine $f^{(n)}(x)>0$ yazmışım, düzelttim)


Lisans Matematik kategorisinde (4.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 147 kez görüntülendi

Lisans öğrencileri için biraz zor. 

Akademik Kategorisine (bilinmesi gerekenler yönünden değil, yöntem yönünden) yakın.

Kimse çöz(e)mez ise 2 gün sonra çözeceğim.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İddianın yanlış olduğunu varsayıp bir çelişkiye ulaşarak, iddianın doğruluğunu ispatlayacağız.

Her $x\in\mathbb{R}$ ve her $n\in\mathbb{N}$ için $f^{(n)}(x)\geq 0$ olsun.

her $n\in\mathbb{N}$ için $f^{(n)}$ (tüm $ \mathbb{R} $ de) artan (azalmayan da deniyor) fonksiyondur.

Bu nedenle (ve $ f(0)=0 $ olduğu için) her $ x\leq0 $ için, $f(x)=0$ olur. 

Buradan da, her $ x\leq0 $ ve her $n\in\mathbb{N}$ için,  (0 da soldan türevlerin hepsi 0 olduğu için) $f^{(n)}(x)=0$ olur dır.

Kalanlı Taylor Teoreminden, ($ f $ nin 0 daki değeri  ve her türevi 0  (Aslında, 0 yerine bir negatif sayı da kullanabiliriz)  olduğu için Taylor polinomları 0 olur ve) ,

 $ 1=f(1)=\frac{f^{(n+1)} (c_n)}{(n+1)!}$ olacak şekilde $ c_n\in(0,1) $ sayıları vardır.

Bu da, her $n \geq0$ için, $ f^{(n+1)} (c_n)=(n+1)! $ ve ($ f^{(n+1)} $ artan olduğu için)  $ f^{(n+1)} (1)\geq f^{(n+1)} (c_n)=(n+1)! $ olur.Bu nedenle, $ f $ nin 1 deki Taylor polinomları, (her $n \geq0$ için) $ P_n(x)=1+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+\cdots+a_n(x-1)^n$ olmak üzere $ a_i\geq1 \ (i=1,\ldots,n)$ olur.

Yine, Kalanlı Taylor Teoreminden, her $n\geq0$ için:

$ f(2)=P_n(2)+\dfrac{f^{(n+1)} (d_n)}{(n+1)!} $ olacak şekilde $d_n\in(1,2)$ sayıları vardır.

$ f^{(n+1)} (d_n)\geq0 $ olduğu için,

$ f(2)\geq P_n(2)=1+a_1+a_2+\cdots+a_n \geq n+1$  olur.

Bu eşitsizlik, her $ n\in\mathbb{N} $ için doğru olup, bu durum Arşimet Özelliği ile çelişir.

Bu çelişki, iddianın doğru olduğunu ispatlar.

(4.8k puan) tarafından 
18,557 soru
20,846 cevap
67,908 yorum
19,279 kullanıcı