Question

$\Bbb{Z}$ halkasında $6\Bbb{Z}$ maksimal ideal midir? Ayrıca $15\Bbb{Z}$ asal ideal midir?

Answer 1

Şu bilgileri hatırlamak yeterli: 

Bir $R$ halkası ve bir $I$ ideali için, 

1- $I$ asaldır ancak ve ancak $R/I$ tamlık bölgesidir,

2- $I$ maksimaldir ancak ve ancak $R/I$ cisimdir.

ve

$\Bbb{Z}$ halkasının tüm idealleri bir $n\in\Bbb{Z}$ için $n\Bbb{Z}$ formundadır. 

---

Bu iki bilgiden $\Bbb{Z}$ halkasının tüm ideallerini, asal veya maksimal, sınıflandırabiliyoruz.

Answer 2

Üstteki cevap yeterince güzel olmakla birlikte iki örnek ile de görebiliriz. $$6\mathbb{Z}\subseteq 2\mathbb{Z}$$ öyleyse $6\mathbb{Z}$ maksimal değil. Ayrıca $$3\times 5=15\in 15\mathbb{Z}$$ ama ne 3 ne de 5 idealin içerisinde. Öyleyse $15\mathbb{Z}$ asal ideal değil.