Üçgende $\cos A+\cos B + \cos C = 1 + \dfrac{r}{R}$ Eşitliği

Question

Herhangi bir $ABC$ üçgeninde çevrel çemberin yarıçapı $R$, iç teğet çemberin yarıçapı $r$ olmak üzere $$\cos A+\cos B + \cos C = 1 + 4\sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}$$ ve $$\cos A+\cos B + \cos C = 1 + \dfrac{r}{R}$$ eşitliklerini gösteriniz.

Answer 1

İkinci eşitlik için önce bazı eşitlikleri ispatlayalım.

Kosinüs teoremi: $a^2=b^2+c^2-2bcCosA$

$CosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=1-2Sin^2(A/2)$ den,

$Sin(A/2)=((u-b)(u-c))/bc)^(1/2)$ benzer olarak $Sin(B/2),Sin(C/2)$ de hesaplanır. Burada $2u=a+b+c$ olduğu unutulmamalıdır. Ayrıca $A(ABC)=s=u.r$  ve  $s= a.b.c/4R$ bu eşitliklerden $ u=s/r$   ve $ a.b.c=s/4R$  eşitlikleri elde edilir. Şimdi 

$CosA+CosB+CosC=1+4SinA/2.SinB/2.SinC/2$ eşitliginde yukarıda bulunan değerler yerine yazılarak,

$CosA+CosB+CosC=1+4(u-a)(u-b)(u-c)/a.b.c$  bulunur. Son olarak $(u-a)(u-b)(u-c)=s^2/u$  ve $u=s/r$   ve $ a.b.c= 4.s.R$  yazılırsa istenilen eşitlik olan

$CosA+CosB+CosC=1+r/R$  elde edilir.

Comments

Tebrikler Mehmet bey. İşlemleri biraz bol bir soruydu, ilgilendiğiniz için teşekkürler.

Answer 2

Bir üçgende içaçı ölçüleri toplamı 180 derece olduğundan, A+B+C=180 den A+B=180-C ve (A+B)/2=90-C/2  olduklarını dikkate alalım. Eşitliğin sol tarafından başlayalım;

$CosA+CosB+CosC=2Cos(A+B)/2.Cos(A-B)/2+CosC$

$=2Cos(90-C/2).Cos(A-B)/2+1-(SinC/2)^2$

$=2SinC/2.Cos(A-B)/2+1-2(SinC/2)^2$

$=1+2SinC/2(Cos(A-B)/2-SinC/2)$

$=1+2SinC/2(Cos(A-B)/2-Cos(A+B)/2)$

$=1+4SinC/2.SinB/2.SinA/2$ elde edilir.

İkinci eşitlik için  önce   

$r=4RSinA/2.SinB/2.SinC/2$ olduğu gösterilmeli. Sonrası kolay.