Eğik Atış Sorusu

Question

Sürtünmelerin önemsenmediği bir ortamda K noktasından 50m/s hızla fırlatılan cisim L noktasına çarpıyor. Buna göre, cisim  K den L ye kaç saniyede gelir ? Hocam bu soruları hangi mantıkla çözebilirim ? 

Comments

Eğik düzleme dik olarak atılıyor sanırım.

---

Bir parabol ile bir doğrunun kesişme noktasını bulmak şeklinde düşündün mü?

---

Hocam 11. sınıfım daha parabol konusuna geçmedik. Sanırım demek istediğiniz L den cos37  ye paralel olacak şekilde dik mi çizmek ?

---

Başka bir veri yok mu? Mesela KL mesafesi.

Answer 1

Başta yorum yazacaktım. Sonra baktım ki uzuyor, cevaba dönüştürdüm...

Birkaç farklı yol mevcut. Farklı yol derken, seçilen koordinat sistemlerine göre farklı demek istiyorum. Yoksa temel prensip aynı: Newton hareket denklemi.

Ben olsam, $x$ eksenini eğik düzlemin aşağı yönünde, $y$ eksenini de düzleme normal (dik) yönde seçerim. Fakat bu durumda cisme etki eden kuvvetinde bileşenlerini yazarken dikkatli olmam  gerekir. Artık seçtiğim $x$ ekseninde de bir kuvvet mevcut olacaktır. (Hatırlayınız; standartlaşmış eğik atış hareketinde kuvvet düşeydedir, yatay kuvvetse sıfırdır.)

Bu söylediklerimize göre problemi formülize etmeye çalışalım. Seçtiğim koordinat sistemine göre kuvvetin bileşenleri ($\alpha=37$ kısaltmasını kullanacağım):

$$F_x=mg\sin\alpha  \hspace{20px} \mbox{ve} \hspace{20px} F_y=-mg\cos\alpha$$  olur. Buna göre, Newton denkleminden hatırlarsanız cisim,

$$a_x=g\sin\alpha  \hspace{20px} \mbox{ve} \hspace{20px} a_y=-g\cos\alpha$$ ivme bileşenlerine sahip olacak ve iki boyutta da ivmeli hareket yapacaktır.

Şimdi sıra başlangıç koşullarını yazmaya geldi. Başlangıç koşulları cismin ilk konumu ve hızı demektir. Tek başına Newton denklemi, hareketi tek şekilde belirlemek için yeterli değildir. Cismin ilk konumunu orijin kabul edersem, başlangıç konumu için 

$$x_0=0  \hspace{20px} \mbox{ve} \hspace{20px} y_0=0$$  yazılır. İlk hızın bileşenleri de 

$$v_{x0}=0  \hspace{20px} \mbox{ve} \hspace{20px} v_{x0}=0=v_0=50\,m/sn$$ olur. Dikkat ediniz; seçtiğimiz koordinat sisteminde hızın yalnız dik bileşeni var! İş bitmiştir. 

Sabit ivmeli hareket sözkonusuysa hareket denkleminin genel olarak  $$z=z_0+v_{z0}t+\frac{a_zt^2}{2}  \hspace{20px} \mbox{ve} \hspace{20px}v_z=v_{z0}+a_zt$$ şeklinde olduğunu hatırlarsınız. Burada $z$'yi herhangi bir koordinat olarak kabul ediniz; bildiğiniz $z$ ekseni değil yani. Aşağıda göreceğiniz gibi $z$ yerine bazen $x$, bazen $y$'ye ait bilgiler yazılacak. Bu ifadeyi $x$ ve $y$ bileşenlerine uygularsak:

$$x=x_0+v_{x0}t+\frac{a_xt^2}{2} \hspace{20px} \mbox{ve} \hspace{20px} v_x=v_{x0}+a_xt$$   $$y=y_0+v_{y0}t+\frac{a_yt^2}{2}\hspace{20px} \mbox{ve} \hspace{20px}  v_y=v_{y0}+a_yt$$  ve değerleri yerine koyarsak,

$$x=\frac{a_xt^2}{2} \hspace{20px} \mbox{ve} \hspace{20px} v_x=a_xt$$   $$y=v_{0}t+\frac{a_yt^2}{2}\hspace{20px} \mbox{ve} \hspace{20px}  v_y=v_{0}+a_yt$$  buluruz. $y$'nin sıfır olduğu anları bulalım (neden?!): $$y=0=v_{0}t+\frac{a_yt^2}{2}\Rightarrow t_1=0, \hspace{10px} t_2=-\frac{2v_0}{a_y}=\frac{2v_0}{g\cos\alpha}$$ Burada $t_1=0$ başlamgıç konumunu işaret ederken $t_2$ cismin $L$ noktasına vardığı zamanı belirtir. Verilen değerler yerine konursa $$t_2=\frac{2\times 50}{9.8\times 0.8}\approx 12.8\,sn$$ bulunur. (Bulduğumuz $t_2$ değerini $x(t)$ ifadesine koyarsak, bu sefer de $|KL|$ mesafesini buluruz. Sanırım yaklaşık $1111.111111...$ metre ediyor.)

Diyebilirsiniz ki bu kadar uzun ve zahmetli mi olmalıydı. Aslında hayır. Eğer ben pratik şekilde çözmek isteseydim ya da birisi benden, birkaç şık arasından bir tanesini sınırlı zamanda isteseydi, doğrudan, yukarıdaki koordinat eksenlerini zihnimden seçip $y=v_{0}t+\frac{a_yt^2}{2}$ yazardım ve elde ettiğim sonuca ulaşırdım. Ama ne nereden gelmiş açıkça belirtmek için böyle uzunca yazdım. 

Mesele, doğru koordinat seçimini çabucak görüp, kuvvet ve ivme bileşenlerini doğru şekilde belirleyip $y(t)$ denklemini yazabilecek tecrübeye sahip olmaktır. Yani çeşitli problemlerle haşır-neşir olmaktır.