Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.7k kez görüntülendi
1 metre uzunluğundaki bir telden kenar uzunluğu x cm olan bir eşkenar üçgen ve kalan telden bir daire yapılıyor. Bu iki şeklin alanları toplamının en az olabilmesi için x kaç cm olmalıdır.
Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 1.7k kez görüntülendi

Çevresi $x$ cm olan eşkenar üçgenin alanı ne olur?  Telden geriye kalan $100-x$ cm  değil mi?  Peki çevresi bu kadar olan bir çemberin sınırladığı alan (dairenin alanı) ne kadardır. İstenene göre bu alan değerleri toplamı...?

peki çözüm için hangi optimizasyon yöntemi öneriyorsunuz. eşkenar üçgenin yanı sıra ikizkenar ve çeşitkenar üçgenler için uygun çözüm nasıl olmalıdır.

Şekillerin alanları toplamını, $x$ in tek değişkenli fonksiyonu olarak yazdıktan sonrası zor olmasa gerek.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Telin tamamı ile eşkenar üçgen yapılırsa (ki bu çevreleri eşit olan üçgenler içinde en büyük alanı sınırlayan dır) bu alan değeri $\frac{(100/3)^2\sqrt3}{4}=411,25... cm^2$ kadardır. Eer telin tamamı çember yapımı için(daire değil) kullanılırsa bu sefer elde edilecek alan $\pi r^2=\frac{2500}{\pi}=795,77... cm^2$ dir. Demek ki elde edilmesi düşünülen her iki geometrik şeklin sınırlayacağı alanlar toplamı $\frac{2500}{\pi}$ den daha küçük olacaktır.

 Telin üçgen yapılan kısmının uzunluğu $x$ cm olsun. Kalan $100-x$ cm'lik kısım da çember için(daire değil çünkü ikisi farklı şeyler) kullanılsın. $x$ cm ile ne tür bir üçgen yapıldığı tabii ki çok önemli. 

Biz eşkenar yapıldığını varsayalım.

Alan fonksiyonu $A(x)=\frac{x^2.\sqrt3}{36}+\frac{(100-x)^2}{4\pi}$ dir.  Türevini sıfırlayalım. 

$A'(x)=\frac{x\sqrt3}{18}-\frac{100-x}{2\pi}=0$ dan  $x=\frac{900}{9+\pi\sqrt3}$ olur. Bu kök değeri ikinci türevi pozitif kıldığı için bu $x$ değeri istenendir.

(19.2k puan) tarafından 

Pinin  karesi unutulmus

Ökkeş bey,tekrar kontrol ettim ama bir eksiklik göremedim. Nerede (kaçıncı satırda) unutulmuş olduğunu belirtirseniz iyi olur.

Alan bulurken tekrar $\pi$ ile carpilinca sadelesme oluyor, gozumden kasmis, cozumunuz dogru. $2\pi r=100-x\implies r=\dfrac{100-x}{2\pi}\\\implies \text{daire alani} =\pi\Big(\dfrac{100-x}{2\pi}\Big)^2=\pi\dfrac{(100-x)^2}{4\pi^2}=\dfrac{(100-x)^2}{4\pi}$

20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,127,230 kullanıcı