$S$ küme ve $F(S)=\{f|f:S\rightarrow \mathbb{R}\}$ fonksiyon olmak üzere $$A,B\subseteq S\Rightarrow F(S,A)\cap F(S,B)=F(S,A\cup B)$$ olduğunu gösteriniz.

Question

ikisinin birbirinin altkümesi olduğunu göstermem gerekşyor. ben birleşimden bir eleman alıp yalnız birinin elemanı olduğu ve kesişimde bulunduğu 3 durumu değerlendirmeye çalıştım lakin işe yarar bir şey çıkartamadım. 

$$F(S,A):=\{f|\left(f\in \mathbb{R}^S\right)(\forall x\in A)(f(x)=0)\}$$

Comments

$F(S,A)$ ile neyi kastediyorsun? $S$ kümesinden $A$ kümesine giden fonksiyonların kümesini mi kastediyorsun?

---

A'dan R ye gidenler diye anladım ben. kitapta benzer bir örneği şöyle tanımlamış:

$T \subset S$ kümesi için,

$F(S, T)=\{f|f: S \rightarrow \mathbb{R} $ bir fonksiyon ve $s\in T$ için $f(s)=0\} $

---

Yorumda verilen tanımı kullanmanız lazım. Birşeyler çıkıyor... Ben bir tarafını yapayım: $\forall f\in F(S,A)\cap F(S,B)$ alalım. O zaman, $$f\in F(S,A); \hspace{20px} f\in F(S,B)$$ olur. Bu ifadelere göre $s\in A,$ ve $s\in B$ için $f(s)=0$. O zaman $s\in A\cup B$'de de $f(s)=0$ olacaktır. Buysa, $$f\in F(S, A\cup B)$$ anlamına gelir. Buradan $$F(S,A)\cap F(S,B)\subset F(S, A\cup B)$$ alınır.

Bu ifadenin tersi benzer şekilde gösterilebilir sanırım.

---

aaa zor degil o zaman.

$s\in F(S, A\cup B) $ olsun

$s \in A$ veya $s \in B$  icin $f(s)=0$

yani $s\in A, s\notin B$ icin $f(s)=0$

$s\notin A, s\in B$ icin $f(s)=0$

$s\in A, s\in B$ icin $f(s)=0$

her turlu ikisinin de icinde kaliyor. demek ki kesisimin elemani

Answer 1

Kanıtı biçimsel olarak olarak şöyle yazabiliriz: $A,B\subseteq S$ ve $f\in F(S,A)\cap F(S,B)$ olsun.

$$f\in F(S,A)\cap F(S,B)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$f\in F(S,A)\wedge f\in F(S,B)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(f\in F(S))(\forall x\in A)(f(x)=0)\wedge (f\in F(S))(\forall x\in B)(f(x)=0)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(f\in F(S))(\forall x\in A\cup B)(f(x)=0)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$f\in F(S,A\cup B).$$