Maksimum modül ilkesi

Question

$\left( 0,0\right) ,\left( 1,0\right) ,\left( 1,i\right)$ noktalarını birleştiren üçgensel bölge $D$ olsun.$D$ üzerinde $\left| z^{2}+2z+1\right|$ fonksiyonunun maksimum değerini bulunuz.

Çözüm:

$f\left( z\right) =z^{2}+2z+1$ fonksiyonu $D$ bölgesinin içinde ve üzerinde analitiktir , süreklidir ve sabit olmayan bir fonksiyondur.O halde maksimum modül ilkesine göre maksimum değerini $D$ bölgesinin sınırında alır.

$D$ bölgesinin $(0,0)$ noktasını $(1,0)$ noktasına bağlayan sınırına $C_1$

$D$ bölgesinin $(1,0)$ noktasını $(1,i)$ noktasına bağlayan sınırına $C_2$

$D$ bölgesinin $(1,i)$ noktasını $(0,0)$ noktasına bağlayan sınırına $C_3$

diyelim.

Bu soruda anlamadığım nokta neden $C_2$ deki maksimum değeri bulurken $0\leq y\leq 1$ sınırını kullanmış böyle bir sınır göremedim ve şöyle demiş $\max \left( 4+y\right) ^{2}=5$ ???

Sorunun ve çözümün olduğu PDF (Soru 3.)

Answer 1

O satırda ve hemen altında bir yazım hatası olmuş.

 O satırda $\displaystyle\max_{0\leq y\leq1}(4+y^2)=5$

 Sonraki satırda $\displaystyle\min_{0\leq y\leq1}(4+y^2)=4$

olmalıydı. ($|1+iy+1|^2=4+y^2$ olur)

Aslında soru, geometri ile daha kolay çözülebiliyor:

Soruda, o bölgede, $-1$ e yakın ve en uzak noktaların uzaklıklarının karesi soruluyor. En yakın noktanın $z=0$ en uzak noktanın $z=1+i$ olduğu hemen görülüyor.

Comments

Teşekkürler hocam