Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

a,b,c   sayıları  ABC  üçgeninin kenar uzunlukları olsun. a2=b2+c2  ise A açısının 90 derece olduğunu gösteriniz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (3.3k puan) tarafından  | 1.2k kez görüntülendi

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Eşlik teoremiyle bir kanıtını biliyorum. Onu paylaşayım.

Bir ABC üçgeninde  a2=b2+c2  eşitliği sağlansın. Şimdi m(E)=90 derece olan ve |EF|=c,|EG|=b,  bir EFG  üçgeni alalım ve bu üçgende Pisagor teoreminin diğer yanını çalıştıralım; o zaman |FG|2=|EF|2+|EG|2=|AB|2+|AC|2=b2+c2=a2=|BC|2   |FG|=|BC|  olur.

Dolayısıyla KKK eşlik teoremine göre ABC  üçgeni  EFG  üçgenine eş olduğundan m(E)=m(A)=90  derece olmalıdır.

(3.3k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

ABC üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım

a2=b2+c22bccosA

a2=b2+c2 olduğu kullanılırsa

2bccosA=0 olur. b.c0 olduğundan cosA=0m(A)=90 olur.

(19.2k puan) tarafından 

Teşekkürler Hocam. Kosinüs teoreminin ispatında da Pisagor teoreminin bir yanını kullanıyoruz. Bildiğiniz daha temel bir ispat var mı?

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Belki şöyle de düşünülebilir.

ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarı çapı R olmak üzere sinüs teoreminden;

asinA=bsinB=csinC=2R den 

a=2RsinAa2=4R2sin2A

b=2RsinBb2=4R2sin2B

c=2RsinCc2=4R2sin2C olacaktır. Madem ki a2=b2+c2 dir. O halde 

4R2sin2A=4R2(sin2B+sin2C)sin2A=sin2B+sin2C elde edilir.Buradan 

sin2Asin2B=sin2C

(sinAsinB)(sinA+sinB)=sin2C

2sin(A+B2).cos(AB2)2sin(AB2).cos(A+B2)=sin2C

Buradan sinx=2sin(x/2).cos(x/2)  özdeşliğinden yararlanılarak,

sin(A+B).sin(AB)=sin2C elde edilir.  Öte yandan  A+B+C=πA+B=πC ve sin(A+B)=sin(πC)=sinC dir. 

Böylece son eşitlikten

sin(AB)=sinCAB=CA=B+C elde edilir.  

A=B+C=πA2A=πA=90 olur. Bu da istenendir.

Belki geometrik ispatları da vardır. Bir yazıda Pisagor teoreminin  300 den fazla farklı yoldan ispatının olduğunu okumuştum. Sanıyorum buna yakın karşıtının da ispatı vardır. Başka ispatları da bekleyeceğiz artık. 




(19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,299 soru
21,847 cevap
73,552 yorum
2,759,822 kullanıcı