Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
477 kez görüntülendi

$a,b,c$   sayıları  $ABC$  üçgeninin kenar uzunlukları olsun. $$a^2=b^2+c^2$$  ise $A$ açısının $90^\circ$ derece olduğunu gösteriniz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.9k puan) tarafından  | 477 kez görüntülendi

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Eşlik teoremiyle bir kanıtını biliyorum. Onu paylaşayım.

Bir $ABC$ üçgeninde  $a^2=b^2+c^2$  eşitliği sağlansın. Şimdi $m(E)=90^\circ$ derece olan ve $|EF|=c,   |EG|=b, $  bir $EFG$  üçgeni alalım ve bu üçgende Pisagor teoreminin diğer yanını çalıştıralım; o zaman $$|FG|^2=|EF|^2+|EG|^2=|AB|^2+|AC|^2=b^2+c^2=a^2=|BC|^2$$   $$|FG|=|BC|$$  olur.

Dolayısıyla $KKK$ eşlik teoremine göre $ABC$  üçgeni  $EFG$  üçgenine eş olduğundan $$m(E)=m(A)=90^\circ$$  derece olmalıdır.

(1.9k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

ABC üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım

$$a^2=b^2+c^2-2bccosA$$

$$a^2=b^2+c^2$$ olduğu kullanılırsa

$$2bccosA=0$$ olur. $b.c\neq 0$ olduğundan $$cosA=0\Rightarrow m(A)=90$$ olur.

(19.2k puan) tarafından 

Teşekkürler Hocam. Kosinüs teoreminin ispatında da Pisagor teoreminin bir yanını kullanıyoruz. Bildiğiniz daha temel bir ispat var mı?

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Belki şöyle de düşünülebilir.

ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarı çapı $R$ olmak üzere sinüs teoreminden;

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}= \frac{c}{sinC}=2R$$ den 

$$a=2RsinA\rightarrow a^2=4R^2sin^2A$$

$$b=2RsinB\rightarrow b^2=4R^2sin^2B$$

$$c=2RsinC\rightarrow c^2=4R^2sin^2C$$ olacaktır. Madem ki $a^2=b^2+c^2$ dir. O halde 

$$4R^2sin^2A=4R^2(sin^2B+sin^2C)\rightarrow sin^2A=sin^2B+sin^2C$$ elde edilir.Buradan 

$$sin^2A-sin^2B=sin^2C$$

$$(sinA-sinB)(sinA+sinB)=sin^2C$$

$$2sin(\frac{A+B}{2}).cos(\frac{A-B}{2})   2sin(\frac{A-B}{2}).cos(\frac{A+B}{2})=sin^2C$$

Buradan $sinx=2sin(x/2).cos(x/2)$  özdeşliğinden yararlanılarak,

$$sin(A+B).sin(A-B)=sin^2C$$ elde edilir.  Öte yandan  $A+B+C=\pi\Rightarrow A+B=\pi-C$ ve $sin(A+B)=sin(\pi-C)=sinC$ dir. 

Böylece son eşitlikten

$sin(A-B)=sinC\Rightarrow  A-B=C\Rightarrow A=B+C$ elde edilir.  

$A=B+C=\pi-A\rightarrow 2A=\pi\rightarrow A=90$ olur. Bu da istenendir.

Belki geometrik ispatları da vardır. Bir yazıda Pisagor teoreminin  300 den fazla farklı yoldan ispatının olduğunu okumuştum. Sanıyorum buna yakın karşıtının da ispatı vardır. Başka ispatları da bekleyeceğiz artık. 




(19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
19,470 soru
21,189 cevap
71,144 yorum
27,381 kullanıcı