Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
2.7k kez görüntülendi

Reel eksen üzerinde 0 ≤ x ≤ 2 ve -1 ≤ y ≤0 olacak şekilde rastgele A(x,0) ve B(y,0) noktaları seçiliyor. buna göre, A ve B noktaları arasındaki uzaklığın 2'den büyük olması olasılığı nedir?

Lisans Matematik kategorisinde (15 puan) tarafından  | 2.7k kez görüntülendi

Siz neler düşündünüz? 

B(y,0) olduğundan emin miyiz? B(0,y) olmasın.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Rastgele noktaların A(x,0) ve B(0,y) oldukları varsayılmıştır.

Düzlemde A(x,0) noktası ile B(0,y)) noktası arasındaki uzaklık :|AB|=x2+y2 dir.  Bu değer  

2<|AB|=x2+y25  olmalıdır. Buradan 4<x2+y25  olur. Bu ise aynı merkezli  yarıçapı 5 olan daireden yarıçapı 2 birim olan dairenin çıkarılması ile oluşan halkadır. Halka alanı :(5)2.π22.π=π dir. 

Diğer taraftan verilen noktalar arasındaki uzaklık değişimi dikkate alınırsa 0|AB|=x2+y25  olduğu görülecektir. Tüm daire alanı (5)2.π=5.π dir.

 O halde istenen olasılık    π5.π=15 olur.

(19.2k puan) tarafından 

Diyelim ki orta noktayi sabitledik. Herhangi bir nokyata olan uzakligi 2den kucuk olur.
Bir kose nokta sabitlersek. Tam olarak bir ceyrek cember olmayan bir alan disindakiler kosulu saglar.

Sizin hesabiniz sanki yari capi 5 olan cemberde icerisindeki bir noktanin orijine uzakligi 2den buyuk olmasini hesapliyor?

Noktalardan birisi ya da ikisi orijinde iken istenen gerçekleşmez.  Eğer A(2,0) olarak düşünülürse  o zaman  0<y1  olan her y için sağlanır.  yani 2<4+y25 olur. Benzer şekilde B(0,1) de düşünülürse o zaman da 3<x2 olan her x için istenen sağlanır.  Yani 2<x2+15 dir. Bu iki duruma ilişkin hesaplamayı nasıl yaparız? Sizin yaklaşımınız  nasıldır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme

 image Istenen olasilik mavi bolgenin alaninin yesil dikdortgenin alanina oranina esittir. 

Mavi bolgenin alani A olsun.

  • 1. yontem: Kalkulus kullanarak hesap. Cemberin denlemi y=4x2 dir. Negatif olan x ekseninin altindaki kismi ifade eder onu kullanacagiz. Fonksiyon negatif oldugundan, alani bulmak icin integrali eksi ile carpmamiz gerekli.

A=1×(23)sari dikdortgenin alani(234x2dx)

=23+16(332π)=232π3


Cevap mavi bolgenin alaniyesil dikdortgenin alani=232π32=134π6




  • 2. yontem:  Geometri ile cozum. Yesil dikdortgenden 30 derecelik (nerden biliyoruz? Kenarlar 1,3,2 yani 30,60,90 ucgeni) daireyi ve alttaki ucgeni cikarirsak mavi alani buluruz.

A=1×(2)yesil dikdortgenin alani(π223036030 derecelik dairenin alani+1×32dik ucgenin alani)=232π3


(2.9k puan) tarafından 
olasilik=turuncu nokta sayisimavi nokta sayisi+turuncu nokta sayisi


image

Onemli gozlem su: x ekseni uzerinde secilen A noktasinin y ekseni uzerinde secilen B noktasine uzakligi AB olsun. Bu AB uzunlugu (A,B) noktasinin orijine olan uzakligina esittir. Yani AB=(A0)2+(B0)2=A2+B2. AB>2 demek, merkezi (0,0) ve yaricapi 2 olan cemberin disinda kalan noktalar demek. Tabi ayni zaman A×B=[0,2]×[0,1] dikdortgeninin icinde kalan noktalar demek. Bu da tam anlamiyle yukaridaki turuncu noktalardir.


image

Soruyu soran kişinin yorumlara cevap vermemesinden olsa gerek ben de Ökkeş bey siz de soruyu yanlış anlayıp farklı bir soruyu cevaplamaya çalışmışız. Belki de soru da yazılı olduğu şekli ile her iki nokta da xekseni  üzerinde. O zaman iş değişiyor tabii.


20,289 soru
21,830 cevap
73,517 yorum
2,621,704 kullanıcı