Türevde ekstremum nokta sorusu.

Question

K bir pozitif tam sayı olmak üzere,

F(x)=(x-k)^k 

fonksiyonunun x=k için yerel ekstremum değerine sahip olmasını sağlayan en küçük üç farklı k değerinin toplamı nedir?

Takıldığım nokta şu, x=k da yerel ekstremuma sahip olması için neden üstel ifadenin tek olması şart?

Comments

Niçin $k$ nın tek olması gerektiğini düşünüyorsun?

$x-1$ fonksiyonu 1 de (veya $(x-3)^3$ fonksiyonu 3 de) yerel ekstremuma sahip mi?

---

Sayın hocam, öncelikle ilginiz için teşekkür ederim. Bu düşünce bana ait değil. Üniversite sınavına hazırlık kitabında yapılmış bir çözüm idi.

Çözümünü yaparken,

k.(x-k)^k-1 şeklinde bir çözüm yapıp "yerel ekstremum için tek katlı kök gerekiyor" şeklinde bir ifade geçiyor. Aklıma takılan nokta tam olarak sizin bahsettiğiniz durumdur.

---

Tek olması gereken, $f(x)$ deki kuvvet mi, $f'(x)$ deki kuvvet mi?

---

$f$ nin sıfırdan farklı ilk türevinin derecesinden bahsedilmeli. Derece tek iken dönüm, çift iken ekstremum olmalı. 

---

f(x)'in üssünün çift olması lazım ki f'(x)'in derecesi tek olsun. Aksi takdirde f'(x)'in çift katlı kökü gelir bu da f'(x)in işaret degistirmedigini yani f(x)'in hep artan ya da hep azalan olduğunu gösterir. Bu durumda da ekstremum nokta söz konusu olamaz.