1.Fonksiyonun tanım kümesi bulunur.
2.$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)$ limitleri bulunur.
3.Fonksiyonun $oy,ox$ eksenlerini kestiği noktalar (varsa) bulunur.
4.Türevi alınarak, artan,azalan olduğu aralıklar ve varsa yerel ekstremum noktaları bulunur.
5.Yukarıdaki maddelerde bulunan bilgiler bir "Değişim Tablosu" na işlenir.
6.Değişim tablosuna göre fonksiyonun grafiği çizilir.
Şimdi bu yolları soru için tek tek izleyerek grafiği çizmeye çalışalım.
1.$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-3x+1$ fonksiyonu polinom fonksiyon olduğundan her $ x\in R$ için tanımlıdır. Yani tanım kümesi $R$ kümesidir. Hiç bir yerde tanımsız ya da belirsiz değildir.
2.$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}(\frac{x^3}{3}-x^2-3x+1)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{x^3}{3}-x^2-3x+1)=\infty$ olduklarından fonksiyon grafigi 3. bölgeden başlayıp, 1. bölgede bitecektir.
3.$x=0$ için $ y=1$ olduğundan grafik $oy$ eksenini $(0,1)$ noktasında keser.
$y=0$ için $x$ değerlerini bulmak $3.$ dereceden bir denklem için sanıldığı kadar kolay değildir. Bu değerleri grafik çiziminde az çok tahmin edebiliriz.
4. Türevini alalım. $y'=x^2-2x-3=0\Rightarrow x=3,x=-1$ türevin kökleridir. Bu değerlere karşılık $y$ değerlerini de bulursak; $(3,-8), (-1,8/3)$,olur.
5.Buraya kadar bulunan değerleri bir tablo olarak düzenlemeliyiz.
Bu tabloyu bilgisayarda benim hazırlamam pek mümkün değil.
Ama
$x| -\infty \qquad -1 \qquad 0 \quad \qquad 3 \qquad \infty$
----------------------------------------------------------------------------------------
$y'|\qquad +\qquad 0 \qquad - \qquad 0 \qquad +$
----------------------------------------------------------------------------------------
$y|-\infty \nearrow \quad 8/3\searrow \quad 1 \searrow -8 \nearrow \infty $
----------------------------------------------------------------------------------------
Görüldüğü gibi fonksiyonun $(-1,8/3)$ noktasında bir yerel maksimumu ve $(3,-8)$ noktasında ise bir yerel minimumu vardır. Grafik bu tabloya göre çizilir. Bilgisayarda grafik çizimini beceremediğim için çizimi size bırakıyorum.
Bu tabloya göre grafik çizilir.