Question

m in hangi tamsayı değerleri için $P(x)=x^4-(2m+4)x^2+(m-2)^2 $ polinomu, tam sayı katsayılı sabit olmayan iki polinomun çarpımıdır

Comments

Yalnızca $m=2$ bulabiliyorum. Doğru mudur?

---

evet hocam var belli bir bölümü aşağıda yapılmış.

Answer 1

$a,b,c,d$ ve $e$ birer tamsayı olmak üzere $P(x)$ polinomu ya $$x^4-(2m+4)x^2+(m-2)^2=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$$  şeklinde ya da;$$x^4-(2m+4)x^2+(m-2)^2=(x+a)(x^3+cx^2+dx+e)$$ şeklindedir. ilk eşitlikten:

$a=-c, b=d$ ve $b=|m-2|, a=\mp2\sqrt m$  bulunur. Yani $m$ bir tamkaredir. Ancak $m\leq 2$ için çözüm gelmez. yani $m\in(4,9,25,...)$ 

Benzer çözüm ikinci durum için de yapılabilir.

Comments

$m=4$ için söz konusu polinom tamsayı katsayılı sabit olmayan iki polinomun çarpımı şeklinde yazılabiliyor mu?

---

Evet . $m=4$  polinom $P(x)=x^4-12x^2+4$ olur.

$ m=4$ için $a=4$,$b=d=2$ ve $c=-4$ olacaktır

$P(x)=x^4-12x^2+4=(x^2+4x+2)(x^2-4x+2) $ olur.