Sonsuz küme nasıl tanımlanabilir

Question

1. Sonsuz küme nedir?
   
2. Yaptığınız tanıma göre $\mathbb N$ ve $\mathbb Z$ kümelerinin sonsuz kümeler olduklarını gösteriniz. 

Answer 1

Öncelikle denk küme tanımını hatırlayalım:

Tanım: $X$ ve $Y$ herhangi iki küme olmak üzere bu iki küme arasında en az bir tane bijektif (birebir örten) bir fonksiyon varsa bu kümelere denk kümeler diyoruz ve $X\sim Y$ ile gösteriyoruz. Biçimsel olarak $$X\sim Y:\Leftrightarrow \{f|f:X\to Y \text{ bijektif}\}\neq\emptyset.$$  şeklinde yazılır.

Tanım: $X$ herhangi bir küme olmak üzere eğer $X$ kümesi en az bir öz altkümesine denk ise $X$ kümesine sonsuz küme denir. Biçimsel olarak

$$X \text{ sonsuz (küme)}:\Leftrightarrow \left(\exists A\in 2^X\setminus \{X\}\right)(X\sim A)$$ şeklinde yazılır.

Bu tanıma göre $$2\mathbb{N}:=\{2n|n\in\mathbb{N}\}\subseteq \mathbb{N}$$ olmak üzere  $$\mathbb{N}\sim 2\mathbb{N}$$ olduğundan doğal sayılar kümesi sonsuz bir kümedir. $\mathbb{N}$ kümesi ile $2\mathbb{N}$ kümesi arasında bijektif bir fonksiyon yazma kısmını size bırakıyorum. 

Benzer şekilde $$\mathbb{N}\sim\mathbb{Z}$$ olduğunu $\mathbb{N}$ kümesi ile $\mathbb{Z}$ kümesi arasında bijektif bir fonksiyon bularak gösterebilirsiniz.