Boş küme ile konuya devam edelim.

Question

Buradaki  soruya yapılan yorumlar ve verilen cevaplar doğrusu beni çok ikna etmedi. 

Diyelim ki; $\emptyset$  kümesi boş olmayan her kümenin bir alt kümesidir.  

$A\neq \emptyset $ olmak üzere,$\emptyset\subseteq A\Rightarrow \emptyset\in A$ olduğu dikkate alalım. Yani boş olmayan her küme $\emptyset$'yi içermekte/bulundurmaktadır. Böyle düşünüldüğünde herhangi iki kümenin arakesitinin boş olması mümkün olmaz. Çünkü her iki kümede de bulunan ortak bir elemanı var. O da boş küme. Bugüne kadar A\bigcap B=\emptyset$ yazılımından bu iki kümenin kesişmediğini anlıyorduk. Artık bu yazılımın anlamı ne olur?

Ayrıca $\emptyset \subseteq \emptyset $ yazılımı da sakıncalı gibi. Bu durumda $\emptyset \in \emptyset $  yazılımı bir çelişki olmaz mı?  

konuya ilişkin görüşleri merakla bekliyorum. Teşekkürler.

Comments

$\emptyset\subseteq A\Rightarrow \emptyset\in A$ doğru değil.

Sanırım, "içermek" ve "kapsamak" sözcüklerininin,  bazan birinin diğeri yerine kullanılmasından kaynaklanıyor.

$x\in A$ ise "$A,\ x$ i içeriyor" ama

$A\subseteq B$  ise "$B,\ A$ yı kapsıyor"

şeklinde kullanılsa daha iyi olur.

Elbette,  $x=\{1\}$ ve $A=\{1,\{1\}\}$ ise, hem $x\in A$ ("$A,\ x$ içeriyor") hem de $x\subseteq A$ ("$A,\ x$ i kapsıyor") doğru

---

Mehmet hocam, bu linkte bulunan sorunun altındaki yorumumda Doğan hocamın yazdığı yoruma benzer bir yorum var.

---

Doğan Hocam "içermek" ile "kapsamak"  kelimelerinin anlamlarında nüans olduğunu söylemek istiyorsunuz ama gerçekten öyle mi? Yani söz konusu olan şey eleman ise "içermek", küme ise "kapsamak"   ile ifade etmenin daha doğru olduğunuz. Küme için "elemanı" şeklindeki bir niteleme neden yanlış?

Yorumunuzun son satırında eğer $x=\{1\}$ iken  $A=\{\{1\}\}$ olsaydı yine  $x\in A$ diyemez miydik?

Benzer olarak $\emptyset =\{\}$ olduğundan $\emptyset \subseteq \emptyset $ için $\emptyset=\{\emptyset\}=\{\{\}\}$  ve $\emptyset \in \emptyset$ yazabiliriz ama bu bir hatadır.

 Çok önemlisi; boş kümenin kendi kendini içermesi ,boş kümenin boş olmadığını göstermez mi?  

---

Ben tam da bunu söylemek istiyorum:

"boş kümenin kendi kendini içerir" ($\emptyset\in\emptyset $ anlamında ise)  doğru değil. 

"boş kümenin kendi kendini kapsar " ($\emptyset\subseteq\emptyset $ anlamında  ise) bu doğru.

Genellikle:

İçermek $\leftrightarrow$ elemanı olmak (sıra değişiyor)

kapsamak $\leftrightarrow$ altküme olmak (sıra değişiyor)

anlamında  kullanılıyor. 

(Bazan, dikkatsizce, ben de birini diğeri yerine  kullanıyorum)

Ama ikisi FARKLI şeyler. Nüans değil, gerçekten farklı. 

Farklı olduğunu gözden kaçırırsak, karışıklık kaçınılmaz olur.

Ek:

"Yorumunuzun son satırında eğer $x=\{1\}$ iken  $A=\{\{1\}\}$ olsaydı yine  $x\in A$ diyemez miydik?"

Ben de ($A$ kümesi biraz farklı ama) öyle demişim. Ama Bu $A$ kümesi için $x\subseteq A$ yanlış olur, (benim $A$ kümem için doğru oluyor)

$\emptyset=\{\emptyset\}$: Doğru değil sağdaki kümenin bir elemanı var, soldakinin elemanı yok.

---

Saygıdeğer hocam son yorumunuzdan bir önceki yorumunuzun son satırını aşağıya aynen alıyorum. 

 Elbette, $x=\{1\}$  ve $A=\{1,\{1\}\}$ ise,hem $x\in A$ ("$A$, $x$ içeriyor"), hem de $x\subseteq A$ ("$A$, $x$'i kapsıyor") doğru.

Burada $A$ kümesinin $x$ kümesini eleman olarak bulundurmasından dolayı mı, hem içeriyor hem de kapsıyor diyebiliyoruz?

Eğer $A=\{2,\{1\}\}$  olsaydı yine hem içerir hem de kapsar diyecek miydik? Yani bu işin $A$ kümesindeki ikinci eleman olan  $1$ elemanı ile ilgisi yok değil mi?

"Sonuç olarak;

$A,B$ her biri boş olmayan iki küme olmak üzere $A\in B\Rightarrow A\subseteq B$  ancak $A\subseteq B \nRightarrow  A\in B$ diyebiliriz " diyorsunuz değil mi?

---

$A=\{2,\{1\}\}$ ise:

$2\in A$ (yaygın söyleniş şekli: $A,\ 2$ yi içerir) ama $2\nsubseteqq A$ ($\{2\}\subseteq A$ doğru)

$\{1\}\subseteq A$ (yaygın söyleniş şekli: $A$, $\{1\}$ i kapsar) ama $1\notin A$.

Sorun sadece "kapsar, içerir" sözcüklerinin standart olmayan kullanımı (belki de bu yanıltıyor bizi) değil.

Biraz daha uzun olarak şöyle kullanabiliriz:

$x\in A:\quad A,\ x$ elemanını içerir 

$x\subseteq  A:\quad A,\ x$ kümesini kapsar  

$\in$ ve $\subseteq$ aynı olmadığı gibi bir diğerini de gerektirmiyor. Birbirinden farklı bağıntılar. 

Ama aralarındaki şu çok önemli ilişki var (biri diğerini belirliyor):

$x\in A\Leftrightarrow \{x\}\subseteq A$

Aşağıdaki dört örnekte tüm olası durumlar var:

$A=\{1,2\}$ ve $x=1$ iken $x\in A$: doğru   $x\subseteqq A$: yanlış 

$A=\{1,\{1\}\}$ ve $x=\{1\}$ iken $x\in A$: doğru   $x\subseteqq A$ : doğru 

$A=\{2,\{1\}\}$ ve $x=\{2\}$ iken $x\in A$: yanlış  $x\subseteqq A$: doğru 

$A=\{2,\{1\}\}$ ve $x=1$ iken $x\in A$: yanlış   $x\subseteqq A$:  yanlış

---

Doğan hocam çok teşekkür ederim. Emeklerinize sağlık. Epey uzattım konuyu ama bu karmaşa kitaplarda fazlaca yer alıyor. Sayenizde netleştirmiş olduk.