1. $\mathbb{N}$ de üs:
Eğer $x,y$ doğal sayı ise çarpma kullanmadan $x^y$ tanımlamak mümkün.
$X$, eleman sayısı $x$ olan ($|X|=s(X)=x$) bir küme, $Y$, eleman sayısı $y$ olan ($|Y|=s(Y)=y$) bir küme olsun. $x^y=\left| X^Y\right|$ ($X^Y:\ Y$ den $X$ e fonksiyonların kümesi) olarak tanımlanabilir.
($(x\neq0\text{ için })\ 0^x=0$, her $x$ için $ x^0=1$ olur.) $x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ olur
2. $\mathbb{Z}$ de üs:
Bu kez, ($x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ doğru olmasını istiyorsak) $x^y\in\mathbb{Q}$ olacak.
$x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ doğru olacak (ve $x,y\in\mathbb{N}$ iken aynı sonucu verecek) şekilde tek bir tanım mümkün.
(zor değil) $x^{-y}=\frac1{x^y}$
Sadece 0 ın negatif kuvvetleri tanımsız olacak vs. $x<0$ ise biraz daha özenle benzer şekilde tanımlanır.
3. $\mathbb{Q}$ de üs:
$x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ doğru olacak ve $x,y\in\mathbb{Z}$ iken aynı sonucu verecek şekilde tek bir tanım mümkün. Bu kez ,$x^y\in\mathbb{R}$ olacak.
Kesirli üsleri köklerle (Örneğin: $x>0, y=\frac mn\ (n\in\mathbb{N}^+)$ ise $x^y=\sqrt[n]{x^m}$) tanımlayacağız. $x<0$ ise biraz daha uzun ve özenli bir tanım gerekli.
($x\leq0$ olduğu) Bazı durumlarda (istediğimiz eşitlikler sağlanamadığı için) $x^y$ tanımlanmaz
4. $\mathbb{R}$ de üs:
$x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ doğru olacak ve $x,y\in\mathbb{Q}$ iken aynı sonucu verecek ve sürekli olacak şekilde tek bir tanım mümkün.
Önce $\ln:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ (doğal logaritma) ve $\exp:\mathbb{R} \to (0,+\infty)$ ($\ln$ in ters fonksiyonu) fonksiyonlarını tanımlarız. Bu kısa değil)
(Başka bir yol daha var ama bu daha pratik.)
Daha sonra $x>0$ iken $x^y=\exp(y\ln x)$, ($x\leq0,\ y\in\mathbb{Q}$ ise köklerle) tanımlanır. $x<0,\ y\notin\mathbb{Q}$ ise (istediğimiz koşullar sağlanamadığı için) $x^y$ tanımlanmaz)
Yine $x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ (tanımlı olduklarında) doğru olur.