$a=bq_1+r_1$, $q_1=bq_2+r_1$, $q_2=bq_3+r_1$ $\cdots$ ise $a$ sayısı hakkında ne söylenebilir?

Question

$a,b,q_i,r_i\in\mathbb{Z}$ olmak üzere

$$a=bq_1+r_1$$

$$q_1=bq_2+r_1$$

$$q_2=bq_3+r_1$$

$$\vdots$$

ise $a$ sayısı hakkında ne söylenebilir?

Bu problemle şu soruyu çözmeye çalışırken karşılaştım

Soru:

$3^{11}$ sayısı en çok sayıda ardışık pozitif tamsayının toplamı olarak yazıldığında ilk sayı kaç olur?

Soruyu şöyle çözmeye çalıştım:

$(k+1)+(k+2)+\cdots+(k+m)=3^{11}$ olsun. $3^{11}=\dfrac{m.(2k+m+1)}{2}$ olur. m sayısın en büyük değeri için $m$'ye alabileceği en büyük sayıyı (tek sayı olmak zorunda çünkü $3^{11}$ tek bir sayı) verelim.

$2x+1$, $m$'nin alabileceği en büyük değer olsun. O zaman

$(2x+1)(k+x+1)=3^{11}$ olur. 

$2x+1$ sayısı $3$'ün katı olduğundan $x=3x_1+1$ olur. Bunu denklemde yerine yazalım.

$3(2x_1+1)(k+x+1)=3^{11}$ olur. $2x_1+1$ sayısı da $3$'ün katı olması gerektiğinden $x_1=3x_2+1$ olur. Bunu böyle devam ettirirsek $m$ sayısı sonsuza gitmezmi? Çok alakası var mı konuyla bilmiyorum ama a sayısı şöyle ifade edilebiliyor galiba(emin değilim).

$f(x)=bx+r_1 \Rightarrow a=fofo\cdots of(q_1)$

Soruyu çözerken elbet bir yerde hata yaptım ve nerede olduğunu bilemiyorum. Sorunun asıl konusu olan $a$ sayılarının sonsuza gideceğini düşündüm ama soruda $3^{11}$ sayısının sonsuzlukla alakası olmadığından dolayı şüpheliyimde. Bu $a$ sayısı hakkında ne söylenebilir acaba?

Comments

şimdi farkına vardım. $a$ sayısı fonksiyonlu yerde ifade ettiğim gibi yazılamıyormuş.

---

Eğer;

$1=3^0$

$1+2=3^1$

$2+3+4=3^2$

$2+3+4+5+6+7=3^3..........(*)$

$5+6+7+8+9+10+11+12+13=3^4$                 oldukları düşünülürse sizin $(k+1)+(k+2)+...+(k+m)=3^{11}$ eşitliğinde $m$'yi tek sayı olarak düşünmeniz doğru değildir. Nitekim (*) eşitliğini 

$$(1+1)+(1+2)+(1+3)+(1+4)+(1+5)+(1+6)=3^3$$ şeklinde yazarsak $m=6$ çift sayıdır.

Burada sanıyorum ardışık sayıların tekle mi, yoksa çiftle mi başladığı ve kaç ardışıkla sayının elde edildiği önemli.