Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
383 kez görüntülendi

$S\subseteq\mathbb{R}^3$ çember olmak üzere $\mathbb{R}^3\setminus S$ kümesinin bağlantılı olduğunu gösteriniz.

bir cevap ile ilgili: Homeomorfizmaya Dair-VII
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 383 kez görüntülendi

Yol bağlantılı olduğunu göstermek (uzayda çizgiler düşünerek) kolay.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$P,Q\in\mathbb{R}^3\setminus S$ olsun. Aşağıdaki 6 durumdan (sadece) biri sağlanır:

  1. $P,Q$ çemberin düzleminde, ikisi de çemberin içindedir.
  2. $P,Q$ çemberin düzleminde, ikisi de çemberin dışındadır.
  3. $P,Q$ çemberin düzleminde, biri çemberin içinde diğeri dışındadır.
  4. $P,Q$ çemberin düzleminin dışında, ikisi de bu düzlemin aynı tarafındadır.
  5. $P,Q$ çemberin düzleminin dışında, ikisi bu düzlemin farklı tarafındadır.
  6. $P,Q$ dan biri çemberin düzleminde diğeri düzlemin dışındadır.

  Bu durumların her birinde, $P$ ile $Q$ noktalarını birleştiren (ve en çok 2 parçadan oluşan) bir kırık çizgi kolayca oluşturulur.

 Aynı adımlar ile, $S$ bir düzlemde kalanbasit kapalı bir eğri ise de (Jordan ın Eğri Teoremini kullanarak) $P,Q\in\mathbb{R}^3\setminus S$ in yol bağlantılı olduğu gösterilmiş olur. 
Ama $S$ basit kapalı ama bir düzlemde kalmıyor ise iddia yine doğru oluyor ama ispatı bu kadar kolay değil.
(6.1k puan) tarafından 

Tekrara düşününce, 1,2 ve 3. durumları ayırmaya da gerek yok 

O durumlarda, düzlemin dışında bir $R$ noktası alıp $P$ ve $Q$ notalarını $R$ ile (düz bir çizgi ile) birleştirmek yeterli olur.

20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,793 kullanıcı