Noktanın doğruya göre simetriği-1

Question

Önerme. Bir $l$  doğrusu ve bir $X$   noktasından geçen ve  $l$  doğrusuna dik olan $m$  doğrusu verilsin. Bu durumda $P$  noktası  $l$  doğrusu üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere  $l$   ve   $m$   doğrularının kesiştiği  $F$   noktası  $$F=X-<X-P,N>N$$    ile  verilir Burada  $<,>$   Öklid iç çarpımı  ve $N$  ise $l$   doğrusunun birim normal vektörüdür.

İlgili soru

Answer 1

Verilere uygun olarak birbirine $F$ noktasında dik olan $l,m$ doğrularını çizelim ve $P\in l$ ve $X\in m$ alalım. 

$\vec{N}$ ,  $l$  doğrusunun birim normal vektörü olsun.

$$<\vec{PX},\vec{N}>=|\vec {PX}|.|\vec {N}|.Cos\alpha$$ , Öte yandan  $PFX$ dik üçgeninde $Cos\alpha=\frac{|\vec{XF}|}{|\vec{XP}|}$ olduğu ve $|\vec {N}|=1$ olduğu kullanılırsa,

$$<\vec{PX},\vec{N}>=|\vec{PX}|.\frac{|\vec{XF}|}{|\vec{XP}|}=|\vec{XF}|$$ olacaktır. Buradan

$$<\vec{PX},\vec{N}>.\vec{N}=|\vec{XF}|.\vec{N}$$   Bu son eşitlikte $\frac{\vec{XF}}{|\vec{XF}|}=\vec{N}$ olduğu kullanılırsa 

$$<\vec{PX},\vec{N}>.\vec{N}=\vec{XF}=\vec{X}-\vec{F}\rightarrow \vec{F}=\vec{X}-<\vec{X}-\vec{P},\vec{N}>.\vec{N}$$   elde edilir.