Question

$R =\Bbb{Z}_{ 12}$ halkasının bütün ideallerini, bölüm halkalarını, asal ve maksimal ideallerini belirleyiniz.

Answer 1

Bütün idealleri 12 nin pozitif bölen sayısıdır asal idealleri asallar max idealleri de 2z ve 3z dir

Comments

Yanıtın neden bu olduğunu da açıklamak iyi olabilir. Cebir derslerinin olmazsa olmazı olan şöyle bir teorem vardır:

$R$ bir halka $I$ bir ideal olsun. $R/I$'nın idealleriyle $R$'nin $I$'yı içeren idealleri arasında içerme ilişkisini koruyan birebir bir eşleme vardır. Ve bu eşleme şu şekilde tanımlanır. $\theta\subseteq R/I$ bir ideal ise ona karşılık gelen $I$'yı içeren ideal $$J_{\theta}:=\{r\in R|\overline{r}\in \theta\}$$ olur. $J\subseteq R$ ideali $I$'yı içeriyorsa ona karşılık gelen $R/I$ ideali $$\theta_J:=\{\overline{j}\in R/I:j\in J\}$$ olur. Ve $$\theta\longmapsto J_{\theta}$$ ile $$J\longmapsto \theta_J$$ birbirlerinin tersidir. Yani $$(\theta_J)_{\theta}=\theta$$ ve $$(J_{\theta})_J=J$$ Bu notasyonla içerme ilişkisini korumak demek de şöyle ifade edilir: $$J_1\subseteq J_2\Leftrightarrow \theta_{J_1}\subseteq \theta_{J_2}$$

Şimdi bu teorem (ki ispatı çok kolay) ile soruyu yanıtlayabiliriz. $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ halkasının ideallerini bulmak yerine  $\mathbb{Z}$'nin $12\mathbb{Z}$'yi içeren ideallerini bulabiliriz. $12\mathbb{Z}$'yi içermek için üreteçin $12$'yi bölmesi gerek. vesaire vesaire