Problem:
Negatif olmayan tam sayılarda tanımlı, f fonksiyonu, her x,y için,
xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x2+y2)
eşitliğini sağladığına ve f(99)=5 olduğuna göre f(100) kaça eşittir ?
Çözüm:
xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x2+y2) denkleminde x=0 yazarsak, yf(0)=yf(y2) eşitliğinden, f(y2)=f(0)
elde edilir. Bu ifadeden f fonksiyonunun sabit bir fonksiyon olacağı düşünülebilir. Bu düşüncemizi ispatlamaya çalışalım. Bunun için x≠0 ve y≠0 olmak üzere, f(x)<f(y) kabul edelim. Bu durumda,
(x+y)f(x)<xf(y)+yf(x)<(x+y)f(y) olur. Böylece, f(x)<f(x2+y2)<f(y) olur. Fakat bu mümkün değildir. Çünkü, benzer şekilde devam ederek f(x) ve f(y) değerleri arasında sonsuz sayıda farklı değer bulunur. Fakat f(1)=f(0) . Böylece her x>1 için, f(x)=f(1) olur. Dolayısıyla f sabit fonksiyondur ve f(100)=f(99)=5 olur.
Benim sorum şu biz f fonksiyonunun sabit bir fonksiyon olduğunu ispatlamaya çalışırken f(x)<f(y) varsayımından sonra f(x) ile f(y) arasında sayı olduğunu gösterdik. Fakat bu f fonksiyonunu neden sabit yapıyor ? Örneğin f(x)=16 ve f(y)=9 olsun. f(x) ile f(y) arasındaki değerler 10,11,12,13,14,15 olacak ama bu f fonksiyonunu neden sabit yapıyor ? Cevaplarınız için şimdiden teşekkür ediyorum.