Çözüm 1: Cardano formüllerinden ilham alarak x3−4x+1=0 denkleminin x=3√h+√k+3√h−√k formunda çözümlerini arayalım. Burada h,k birer gerçel sayıdır.
x3=h+√k+h−√k+3(3√h+√k+3√h−√k)(3√h+√k⋅3√h−√k)
olup
x3−33√h2−kx−2h=0
elde edilir. Bu genel form ile x3−4x+1=0 denkleminin karşılıklı olarak katsayıları eşitlenirse h=−12 ve k=−229108 elde edilir. Belki k=−687216 yazmak daha elverişli olabilir. i sanal birim olmak üzere
x=3√−12+i√6876√6+3√−12−i√6876√6
kökü elde edilir. Her ne kadar küpkök sembolü içindeki ifadeler karmaşık sayı olsalar da biri küpkök dışına m+ni biçiminde, diğeri de m−ni biçiminde eşlenik olarak çıkarılabilir. Böylece toplamları olan x=2m bir gerçel sayı olur.
Çözüm 2: g(x)=x3−4x fonksiyonunun grafiğini çizelim. g(x)=0 denkleminin kökleri 0,±2 olup 3 tanedir. Ekstremumları vs hesaplayınız. Daha sonra bu grafiği y ekseninin pozitif yönünde 1 birim öteleyelim ve f(x)=g(x)+1 fonksiyonunun grafiğini çizelim. f(x)=0 denkleminin de üç gerçel kökü olduğunu görürürüz.
Çözüm 3: Gerçel katsayılı bir polinomun bir kökü m+ni (m,n∈R) karmaşık sayısı ise diğer kökü de m−ni eşleniğidir. Dolayısıyla 3. dereceden (daha genel olarak tek dereceli) gerçel katsayılı bir polinomun, tüm kökleri gerçel sayı olmayan karmaşık sayılardan oluşamaz. Öyle olsaydı denklem çift sayıda köke sahip olurdu. Halbuki bu polinom denklem, cebirin temel teoremine göre tam üç tane (genel halde tam polinomun derecesi kadar) köke sahiptir, çelişki! Demek ki en az bir kökü gerçel olmak zorundadır.
Çözüm 4: f(x)=x3−4x+1 dersek sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremi gereğince
f(−3)=−14, f(0)=1 ve f(−3)f(0)<0 olduğundan −3<x<0 aralığında bir kök vardır.
f(1)=−2 ve f(0)f(1)<0 olduğundan 0<x<1 aralığında bir kök daha vardır.
f(2)=1 ve f(1)f(2)<0 olduğundan 1<x<2 aralığında bir başka kök daha vardır.