$x^2+y^2=R^2$ çemberi tarafından sınırlanan alanı bulunuz.

Question

x*x+y*y=R*R ÇEMBERİ TARAFINDAN SINIRLANAN ALANI BULUNUZ?

Answer 1

$$A=2\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx=\dots=\pi R^2 \,\ \text{br}^2$$

Answer 2

$y=\pm\sqrt{R^2-x^2}$ olur. Bilindiği gibi bunlar birer yarım  çember yayıdır. Biz pozitif olanını alalım. (diğerini de alsak fark etmez.)

istenen alan A ise $A=2.\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx$ dir. Burada $x=Rcos\theta$ dönüşümü uygulanırsa sınırlar $\pi$ ile $0$  olur.

$$A=2.\int_{\pi}^{0}\sqrt{R^2-R^2cos^2\theta}  (-Rsin\theta)d\theta$$ .

$$A=-2.R^2\int_{\pi}^{0}\sqrt{1-cos^2\theta}  (sin\theta)d\theta$$ .

$$A=-2.R^2\int_{\pi}^{0}|sin\theta|  (sin\theta)d\theta$$ . $(-\pi,0)$ aralığında $sin\theta>0$ dır

$$A=-2.R^2\int_{\pi}^{0}sin^2\theta d\theta$$

$$A=-2.R^2\int_{\pi}^{0}\frac{1-cos2\theta}{2} d\theta$$

$$A=-R^2[\theta-\frac12 sin2\theta]_{\pi}^{0}$$

$$A=\pi.R^2$$