(⇒): (X,τ), T0 uzayı; x,y∈X ve x≠y olsun.
(x,y∈X)(x≠y)(X,τ), T0 uzayı}⇒(∃U∈U(x))(y∉U)∨(∃V∈U(y))(x∉V)
⇒(∃U∈U(x))(U∩{y}=∅)∨(∃V∈U(y))(V∩{x}=∅)
⇒x∉¯{y}∨y∉¯{y}
I. Durum: x∉¯{y} olsun.
x∈X⇒{x}⊆¯{x}⇒x∈¯{x}x∉¯{y}}⇒¯{x}≠¯{y}.
II. Durum: y∉¯{x} olsun.
y∈X⇒{y}⊆¯{y}⇒y∈¯{y}y∉¯{x}}⇒¯{x}≠¯{y}.
(⇐): x,y∈X ve x≠y olsun. x noktasının y noktasını içermeyen veya y noktasının x noktasını içermeyen en az bir açık komşuluğunun var olduğunu gösterirsek ispat biter.
(x,y∈X)(x≠y)Hipotez}⇒¯{x}≠¯{y}⇒(¯{x}∖¯{y}≠∅∨¯{y}∖¯{x}≠∅)
⇒(∃u∈X)(u∈¯{x}∖¯{y})∨(∃v∈X)(v∈¯{y}∖¯{x})
⇒(u∈¯{x})(u∉¯{y})∨(v∈¯{y})(v∉¯{x})
⇒(∃U∈U(u))(U∩{y}=∅)(U∩{x}≠∅)∨(∃V∈U(v))(V∩{x}=∅)(V∩{y}≠∅)
⇒(U∈U(x))(y∉U)∨(V∈U(y))(x∉V).