Düzgün Çokgen (AMM 1897)

Question

Problem: $A_1A_2\cdots A_9$ düzgün dokuzgendir. Düzgün çokgenin çevrel çemberinin çapı $|AA_9|=2$ olduğuna göre, $|AA_1| - |AA_2| + |AA_3| - |AA_4|$ ifadesinin değeri kaçtır?

                       

Not: Problemin genel hali şöyledir. $n$ tek tamsayı olmak üzere $A_1A_2\cdots A_n$ düzgün çokgendir. Düzgün çokgenin çevrel çemberinin çapı $|AA_n|=2$ olduğuna göre, 

$$|AA_1| - |AA_2| + |AA_3| - |AA_4| + \cdots \mp |AA_{(n-1)/2}|$$

ifadesinin değeri kaçtır?

Genel hali, American Mathematical Monthly'de 1897 yılında Leonard Eugen Dickson tarafından sorulmuştur. Dickson henüz 23 yaşında iken, dergide bu ve benzeri birçok eşitliği nasıl bulduğunu da açıklamıştır. Ortaöğretim seviyesine uygun olması için genel problemin $n=9$ durumunu soruyoruz.

Answer 1

Verilen şekilde $A$ noktasının düzgün çokgeninin $A_4A_5$ kenarını ve bu kenarın ayırdığı yayı ortaladığı açıktır. Ayrıca çokgenin iki ardışık köşesi arasındaki yayın $\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$ olduğunu biliyoruz.

$AA_1A_9,AA_2A_9,AA_3A_9,AA_4A_9$ dik üçgenlerinden;

$|AA_1|=2\cos20^\circ$, $|AA_2|=2\cos40^\circ$, $|AA_3|=2\cos60^\circ$, $|AA_4|=2\cos80^\circ$, olduğunu görebiliriz.

O zaman;

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(\cos20^\circ-\cos40^\circ+\cos60^\circ-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(\cos20^\circ-\cos40^\circ+\frac 12-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(-2\cdot\sin30^\circ\cdot\sin(-10^\circ)+\frac12-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(\sin10^\circ+\frac 12-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4=1$ olur.

Answer 2

Mathematica ile cozumu.. Gorunen o ki butun tek n'ler icin toplam 1 cikiyor..