Çember bir çokgen midir ?

Question

Aslinda kafama takılan asıl soru Çember sonsuz kenarlı mıdır yoksa kenarsiz mıdır ?

Sonsuz kenarlı olduğunu düşünme sebebim biraz basite kaçıyor aslında cokgenlerde kenar sayısı arttıkça gittikçe çembere benziyor. 

Sonsuz kenarlı ise kenar sayısı 2 den fazla olduğu için cokgendir diyicem fakat çember kenarsizsa çokgen değildir zaten yanlış mıyım ?

Comments

Biraz araştırma yaptım internetten tartışmalı konuymus galiba biraz

---

Çokgeni ; "$n\in N$ ve $n\geq 3$  olmak üzere düzlemin  herhangi üçü doğrusal olmayan $A_1,A_2,A_3,...,A_n$ noktalarının ardışık olarak birleştirilmesinden oluşan kapalı geometrik şekle çokgen denir " diye tanımlıyoruz değil mi? Tabii çokgenleri de konkav(iç bükey) ve konveks (dış bükey) olmak üzere iki gruba ayırıyoruz. Bunları neye göre iki gruba ayırdığımızı bildiğinizi ve düşündüğünüz çokgenin konveks olduğunu sanıyorum. 

Şimdi kenar sayısı $n\geq3$ olan düzgün çokgenleri düşünelim. (Düzgün olmayanlarda olabilir.)

$n=3$ için eşkenar üçgen,

$n=4$ için kare,

$n=5$ için düzgün beşgen,

$n=6$ için düzgün altıgen,

ve böylece devam edersek (yani kenar sayısı olan $n$ değerinin birer birer artırarak sınırsız büyütürsek) $\lim\limits_{n\to \infty}(çokgen)\rightarrow çember$ olacaktır.  Yani çembere sonsuz sayıda kenara sahip düzgün bir çokgen olarak bakılabilir. 

Uzunluğu $l$ birim olan bir doğru parçasından düzgün olmak üzere üçgen,kare, beşgen,altıgen,...,çember elde edersek  bunlar içinde en büyük alanı çemberin sınırladığını görürüz.

Yine konveks çokgenlerin iç açı ölçüleri kenar sayısına bağlı olarak değiştiği halde dış açı ölçüleri sabit olup $360^0$ dir. Çemberin çevresini $360^0$ derece kabul etmemizin kim bilir belkide bir sebebi budur.

---

Çok teşekkür ediyorum harika aciklamissiniz

---

Sonsuz kenarlı çokgenin çember olduğu fikrine katılmıyorum. Yani sonsuz kenarlı çokgen çembere benzer belki ama $n$ bir doğal sayı olduğundan çember çokgen üzerinde olmayan birçok hatta sonsuz noktaya sahiptir. 

---

Yalnız burada söz konusu olan çokgen düzgün çokgendir. Her düzgün çokgenin bir çevrel çemberi vardır.

---

Aslında düzgün çokgen demek istedim Mehmet hocam, eksik olmuş. 

---

hocam düzgün olmayan çokgenlerin de çevrel çemberi vardır değil mi? yani her çokgenin çevrel çemberi vardır diyebilir miyiz?

---

Bir üçgen alıp çevrel çemberini çizsen, daha sonra bu üçgene çember üzerinde olmayan bir dördüncü köşe ekleyip bir dörtgen oluştursan, bu çokgenin çevrel çemberi olur mu?

Answer 1

$n$  bir doğal sayı olmak üzere çember üzerinde birbirine eşit uzaklıkta $n$  tane nokta seçelim ve bunları birbirleriyle birleştirerek $n$  kenarlı düzgün çokgeni elde edelim. $n$  sayısını arttırdıkça oluşan çokgenlerin şekli çembere daha çok benzeyecektir. Ancak $n$  sayısı sonsuza gitse bile ve oluşan çokgenler ne kadar çembere benzese, hatta  $n \to \infty$ olduğunda oluşan çokgenin çevresi ve alanı çember ve daire ile aynı olsa da tam bir çember yerine " delikli" bir çember elde edilir. $n$  bir doğal sayı olduğundan $n \to \infty$ durumunda dahi çokgenin köşe noktaları arasında delikler/boşluklar olacaktır; bu delikler çember üzerindeki irasyonel noktaların yeridir. Bunun nedeni, sayılabilir olan bir küme ile (doğal sayılar kümesi) sayılamaz olan bir kümeyi (yani çember üzerindeki noktaları ya da bir noktası çıkartılmış çember bir doğruya homeomorf olduğundan, bir doğru üzerindeki noktalar da denebilir) örtmeyi denememizdir. Sonuç olarak sonsuz kenarlı bir düzgün çokgen gerçek anlamda bir çember değildir.

Comments

Ya hayir bu yanlis olmali!!!!!!!!!!!!!!!!
 

cokgen serisine $f_i$ diyelim.

her $f_i$ sonlu noktanin dogru parcalari  ile birlestirilmesi sonucu olustu. Takdir edersiniz ki dogru parcalarinin kardinalitesi sayilabilir degil.

Keza durum boyle olsaydi her surekli fonksyonu ,parcali lineer fonksyonlarin uniform limiti olarak yazamazdik.

Answer 2

Ben de çemberin, çokgen olmadığını düşünüyorum. Sonuç olarak çokgenin tanımında geçen herhangi üçü doğrusal olmayan $n$ tane noktadan bahsederken $n$ nin bir doğal sayı olduğunu belirtiyoruz. Çemberde sonlu sayıda köşe olmadığı için çokgen tanımına uymuyor. Temel olarak bu yüzden çember, bir düzgün çokgen değildir. Tanıma uymadığı için.

Öte taraftan eski çağlardan beri bilinen bir gerçek şudur: $n \to \infty$ limit durumunda çokgenin çevresi, çemberin çevresine yaklaşmakta. Çokgen bölgenin alanı da çemberin sınırladığı bölgenin alanına yaklaşmakta. Siraküzalı Arşimet'in bu prensibi kullanarak $\pi$'nin değeri için bazı aralıklar elde ettiğini biliyoruz. Hem çember'in ve $\pi$'nin anlaşılması, hem bu kavramların öğretiminde sağlayacağı kolaylığı da göz önüne alarak çembere çokgen muamelesi yapmakta pedagoji açısından sakınca yoktur, fayda vardır.

Her şeyi en doğru matematikle öğretmeye çalışmak doğru bir öğretim yöntemi değildir. Başlangıç seviyelerinde sıklıkla bir matematiksel kavramı (bilerek) yanlış öğretiriz. Örneğin ilkokula başlayan bir öğrenci için ilk sayı $1$ dir. ''Negatif sayılar da vardır çocuklar, $-1,-2,-3, \dots$ bu yüzden en küçük sayı diye bir şey  yoktur'' diye konuya girmek doğru bir öğretim yaklaşımı değildir. Örnekler çoğaltılabilir ...

Answer 3

Lokman Gökçe'nin de belittiği gibi çokgenler tanımından dolayı sonlu kenara (dolayısıyla köşeye) sahiptirler. Yine bahsedildiği üzere çemberleri kenar sayısı sınırsız artarken düzgün çokgenlerin limiti olarak görebiliriz(böyle olsa da çember bu şekilde tanımlanmamıştır). Ama bu durumda bile mükemmel bir çember oluşmaz çünkü çokgenler sonlu sayıda doğru parçalarının birleşimidir. Burada çokgenin bir kenarını doğru parçası olarak tanımlıyoruz. Halbuki çemberin tanımında doğru parçası tanımı yok. Bilindiği gibi düzlemdeki bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine çember diyoruz.

$r$ yarı çaplı bir çemberle eşit çevreye sahip sonsuz kenarlı bir düzgün çokgenin var olduğunu düşünelim. Kenar kavramının geometrik tanımından dolayı ne kadar küçük de olsa (infinitesimal=sonsuz küçük değil, ama eğrilerin sonsuz küçük/ölçülemeyecek kadar küçük doğru parçalarından oluştuğu kabül edilir) bir $a\gt 0$ kenar uzunluğundan bahsedebiliriz. Buna göre düzgün çokgenin çevresi $\infty.a=\infty$ olmalıdır. Halbuki çemberin çevresi $2\pi r$ sonlu sayısıdır. Demek ki böyle bir düzgün çokgen olamaz.

Konuya türev açısından yaklaşırsanız çokgenin köşeleri (sivri noktaları) olacağından bu noktalarda türeve sahip değildir(bu noktanın "solundaki" ve "sağındaki"kenarlar üzerinde farklı türevlere sahiptirler). Diğer taraftan çember smooth bir eğri olduğundan her noktada yalnız bir türeve sahiptir. Yani çokgenler $C_0$ sınıfından sürekli (her noktada türev yok) iken çember $C_1$ (her noktada sürekli ve türevli) sınıfından süreklidir.

Daha önceden verdiğim cevabı biraz daha açayım: Diyelim ki bir çember üzerinde düzgün çokgeni oluşturmak için biribirine eşit uzaklıkta $n$ nokta seçtiniz (bu noktaları birbirine ne kadar yakın seçseniz de bunların birleşimleri bir kenar oluşturmak zorunda olduğundan çemberin kenara ait olmayan noktaları mutlaka vardır) ve $n$ doğal sayısını sonsuza götürdünüz. Şimdi bu noktaları bir doğru üzerine iz düşürüp işaretlediğimizi düşünelim. $n$ sonsuza gittiğinde en fazla doğal sayıların kardinalitesi kadar nokta doğru üzerinde olur. Yani doğru üzerinde birçok (sonsuz) boş nokta kalır ve bu noktalar ancak çember üzerinde işaretleyemediğimiz noktalarla (doğal sayılara karşılık gelmeyen noktalar) eşleşir.