Reel sayılar kümesinin pozitif reel sayılar kumesine denk olduğunu gösteriniz .

Question

Bunun için iki küme arasında birebir örten bir fonksiyon yazmam gerekiyor ama yapamıyorum .

Comments

Senin yeni bir fonksiyon üretmene gerek yok bildiğini sandığım böyle fonksiyonlar var.

---

e üzeri x olsun fonksiyon ?? Sonra ? 

---

$e^x$ nereden geldi tam olarak?

---

Sonrası... $e^x$ fonksiyonunun değer kümesi pozitif reel sayılardır ($e^x: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{>0}$). Bunun 1-1 ve örten olduğunu göstermek lazım. 

Answer 1

Tanım: A ve B kümeleri arasında birebir eşleme kurulabilirse bu kümelere denktir veya aynı kuvvettendir denir ve $A\sim B$ şeklinde yazılır.

 

$\mathbb{R}$ ile $\mathbb{R} ^{+}$ kümeleri arasında birebir eşleme kurulabilmesi için $\varphi :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{+}$ fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu göstermeliyiz.

$\mathbb{R} ^{+}=\{ n\in \mathbb{R} :n > 0\}$ olup fonksiyonu $\varphi \left( n\right) =e^n$ seçelim

Şimdi birebir ve örten olup olmadığına bakabiliriz.

• $\varphi :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{+}$ fonksiyonu $\forall n_{1},n_{2}\in \mathbb{R}$ için $n_{1}\neq n_{2}$ iken $\varphi \left( n_{1}\right)=e^{n_{1}}\neq e^{n_{2}}=\varphi \left( n_{2}\right)$ olup $\varphi$ fonksiyonu birebirdir.
• $\varphi :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{+}$ fonksiyonu $\forall e^n\in \mathbb{R}^+$ için $\varphi(n)=e^n$ olacak biçimde en az bir $n\in\mathbb{R}$ vardır o halde $\varphi$ fonksiyonu örten fonksiyondur.

Dolayısıyla $\mathbb{R}$ ve $\mathbb{R}^+$ kümeleri denktir. 

$\mathbb{R}\sim \mathbb{R}^+$

 

 

 

Comments

Çözümde $\varphi : \mathbb R \to \mathbb R^{+}$,  $\varphi \left( n\right) =n$ yazıyor. Bu bir fonksiyon değildir ve bazı düzeltmeler yapmak gerekiyor.  Acaba başka bir şey mi yazılmak istedi?

---

$\varphi$ dönüşümünü oluşturup $\varphi$ yi reel sayılardan pozitif reel sayılara seçmek istedim dolayısıyla $\varphi \left( n\right) =n$ dedim. Önerdiğim dönüşümün birebir ve örtenliğinden bahsettim.

---

$\varphi(-1)$ kaç?

---

Ozgur hocam soyle mi yapsaydim $|n|$

---

O da olmuyor..

---

O da olmaz. Surekli artan(veya azalan) ve hep pozitif olan fonksiyon bulmalisin. Yukarida bahsedildigi gibi $e^x$ veya $e^{-x}$ iki guzel ornek..

 

Cevabi silmek yerine neden yanlis oldugunu belirtip yukardaki fonksiyonlarla yeni kanit yazabilirsin..

---

Ilginç başka bir şey: eğer pozitif reel sayılar kümesinde

• "Toplama" işlemini çarpma,
• "Skalerle çarpma" işlemini de üs alma

olarak tanımlarsak, $e^x$ fonksiyonu bir boyutlu uzaylar arasında bir lineer transformasyon verir.

---

@Ozgur bu bana hiperbolik geometriyi animsatti nedense. Var mi acaba bir baglanti?

---

Ben göremiyorum ama belki vardır, eşim yukarıda odada hiperbolik geometri anlatıyor şimdi derste, sorarım :)