Rasyonel sayılar içerikli bir soru.

Question

$\dfrac{a\dfrac{1}{b}}{b-\dfrac{1}{a}}=c, a+b=10, 1<c<6$

olduğuna göre, a.b-c kaçtır? (a,b,c pozitif tam sayıdır.)

İlk olarak verdikleri verileri denklemde yerine yazabileceğim bir yer var mı diye dümdüz işlem yapmaya çalıştım.

$\dfrac{\dfrac{ab+1}{b}}{\dfrac{ab-1}{a}}=c$

a+b=10 u denklemde nasıl kullanabilirim diye düşündüm. İşte a gördüğüm yere  10-b yazmak gibi. Denklemde yerine de kullandım dümdüz işlem yapmadan önce. Dedim sonra a+b nin bi karesini falan alayım. Oradan da bir şey çıkaramadım. Başa tekrar dönüp

$a\dfrac{1}{b}=c\quad b-\dfrac{1}{a}=1$

 yaptım. a.b - a = 1 çıktı. a(b-1)=1 yapıp değer vermeye çalıştım verilenlerden o da bir sonuç vermedi. En son hepsine değer vermeye çalışmak mantıksız geldi. Denedim tabi ama yok bu böyle olmaz deyip devamını getirmedim. Önerebileceğiniz bir şey var mı? Soruyu yazmadan önce baya bi tereddüt ettim buraya yazmak için uygun mu diye ama soru çözüm içeren sitelerde de böyle bir soruya denk gelemedim.

Comments

@bmlion sorunu düzenlemeye çalıştım. İlk kısım böyle mi? (Code yerine latex kodunu iki dolar işaretine alman lazım.)

Eğer soru böyleyse en baştaki $a$ 'nın işlevi tam olarak ne? Çarpım mı yoksa o adını unuttuğum kesirlerden biri mi (2 tam 1 bölü 3 gibi)? 

---

@Ozgur ay bi saat yapmaya çalıştığım şey yine yanlış çıkmış, düzelttiğiniz için sağ olun az daha çıldıracaktım. Kodu yazmaya çalışırken önizlemede bi türlü gözükmüyor. Başka bir yere yazıp düzelttim. Aslı şu olacaktı

\dfrac{a\dfrac{1}{b}}{b-\dfrac{1}{a}}=c, a+b=10, 1<c<6


Zannediyorum ki yine kod çıkmayacak.

---

Öyle değil de böyle olacaktı.

$\dfrac{a\dfrac{1}{b}}{b-\dfrac{1}{a}}=c, a+b=10, 1<c<6$


Cevabı yeniden düzenlemek istedim ama site hata verdi.

---

Böyle mi olacaktı?

(a kesrin tam kısmı mı?)

---

Aynen öyle ya teşekkür ederim

---

c asal değilse  $a\dfrac{1}{b}=c\quad b-\dfrac{1}{a}=1$ olmak zorunda değildir.

---

Asal olarak düşünmemiştim. Kesri bütün şekilde c olarak nasıl benzetebilirim diye düşünmüştüm. Atıyorum kesrin üst tarafı c^2 altı c de olabilirdi. O şekilde yani.

---

$a$ kesrin tam kismi ise $ a \dfrac{1}{b} = a + \dfrac{1}{b}$ oluyor di mi?

Diyelim boyle. O zaman elimizde senin dedigin gibi

$$\frac{\frac{ab+1}{a}}{\frac{ab-1}{b}} = \frac{ab+1}{ab-1} . \frac{a}{b} = c$$

esitligi var.

Not 1. 

$$\frac{ab+1}{ab-1} < 2 \iff ab + 1 < 2 ab - 2 \iff ab > 3$$

Elimizde toplami $10$ olan iki sayi varsa carpimlari mutlaka $3$'ten buyuk olmali. Dolayisiyla olasi her $a,b$ ikilisi icin 

$$\frac{ab+1}{ab-1} < 2$$

olur. 

Not 2.

Bu da demek oluyor ki eger $a \leq b $ ise, yani $\dfrac{a}{b} \leq 1$ ise

$$c = \frac{ab+1}{ab-1} . \frac{a}{b} < 2 . 1 = 2$$

olur. Ama $c$ pozitif sayi ve $1$'den buyuk oldugu verilmis. Demek ki $a \leq b$ olamaz. Demek ki $ a > b$ olmali.

Not 3. 

$ab + 1 > ab - 1$ oldugu bariz. Dolayisiyla 

$$\frac{ab+1}{ab-1} > 1 .$$

Eger $a = 9, b =1$ olsaydi 

$$c = \frac{ab+1}{ab-1} . \frac{a}{b} > 1.9 > 6$$

olurdu ama bu da mumkun degil soruda verilenlere gore.

Not 4. 

Demek ki olasi uc secenegimiz var $(a,b)$ ikilileri icin: $(6,4), (7,3)$ ve $(8,2)$. Bunlarin hicbiri icin de $ \dfrac{a(ab+1)}{b(ab-1)} $ ifadesi tam sayi yapmiyor.