Rasyonel Sayılar

Question

$\left( 1+\dfrac {1} {2}\right) \left( 2+\dfrac {2} {3}\right) \ldots \left( n-1+\dfrac {n-1} {n}\right) =\dfrac {21!} {2n}$

ise $n$ kaçtır?

Sırası ile yazıp sadeleşince yukarısı $1.2.3.4...(n^2-1)$'e kadar gidiyor. aşağıda ise $2$ kalıyor sadece.

Fakat yukarısında, $n^2-1$'de sadeleşme olmadığı için $(n^2-1)!$ olmuyor.Cevap da $20$imiş. cevap üzerinden de gitmeyi denedim fakat nedense yapamadım.

Answer 1

Sırası ile ifadeleri paranteze alırsan.

$1.2.3....(n-1).\frac{3}{2}.\frac{4}{3}....\frac{n+1}{n}=(n-1)!.(n+1)/2=\frac{21!}{2n}$ ise $(n-1)!.n.(n+1)=(n+1)!=21!$ ise $n=20$ gelr.

Comments

Güzel çözüm ,teşekkürler.

Answer 2

1. Ifadeyi 1 parantezine , 2. ifadeyi 2 parantezine, ........(n-1) . ifadeyi (n-1) parantezine alirsak.

$1.2.3.......(n-1).\left( 1+\dfrac {1} {2}\right) \left( 1+\dfrac {1} {3}\right) \ldots \left( 1+\dfrac {1} {n}\right) =\dfrac {21!} {2n}$

$(n-1)!.\dfrac{3}{2}.\dfrac{4}{3}....\dfrac{n+1}{n}=\dfrac {21!} {2n}$

Sadelestirme yapip icler dislar carpimi yapilirsa,

$(n-1)!.n.(n+1)=21!$

$(n+1)!=21!$

$n=20$

Comments

Aklınıza sağlık.Yardımınız için teşekkürler.