Güzel bir denklem sistemi sorusu

Question

$x^2+xy-y^2=10x$

$x^3-xy^2+y^2=10y$      Denklem sistemini sağlayan kaç farklı (x,y) gerçel sayı ikilisi vardır?

                                                                                                                      (UMO-2018)

Comments

Verilen denklemler; $x^2-y^2=10x-xy\Rightarrow (x+y)(x-y)=x(10-y)$ ve benzer olarak,

$x^3-xy^2=10y-y^2\Rightarrow x(x-y)(x+y)=y(10-y)$ yazılır ve taraf tarafa bölünürlerse; $y=x^2$ elde ediliyor. Bu sonuç ilk denklemde yerine yazılınca  $x^2+x^3-x^4-10x=0\Rightarrow  x(x+2)(x^2-3x+5)=0$ elde ediliyor. Burada da $x=0,x=-2$ değerleri elde ediliyor.  Buna göre sadece $(0,0),(-2,4)$ iki ikili buluyorum ama cevap $4$ olarak verilmiş. Nerede hata yapıyorum?

---

$(10,10)$ ikilisi de bu denklemleri sağlıyor. Bu gözlemden hareketle hatanın nerede olduğunu çıkarabilir misiniz? Daha da açık bir ipucu verebilirim isterseniz.

---

Merhaba Özgür Hocam

Dediğiniz gibi $(10,10)$ ve hatta $(-10,10)$ ikilisi de sağlıyor. Yukarıda bulduğum iki çözümü taraf tarafa bölme işlemi sonucu bulmuştum. Bu bölme  ancak $x\neq y,x\neq -y,y\neq 10$ koşullarında yapılabilir. Soruda böyle bir kısıtlama yok.  $(10,10)$ ikilisini eğer deneyerek bulmadıysanız nasıl bulduğunuzu açıklayabilir misiniz?

---

Dediğiniz gibi, sizin çözümünüzü okurken taraf tarafa bölme yaptığınızı farkettim. Ama bunu yapabilmeniz için $y\neq 10$ olması gerektiğini gördüm. Sonra $y =10$ olursa ne olur diye baktım.