s(AuBuC) s(AuB) nin açılımına göre ispatı

Question

s(AuBuC)=s(A)+s(B)+s(C)-s(AnB)-s(AnC)-s(BnC)+s(AnBnC)                                                                     saib nin açılımına göre ispatı

Comments

Sanıyorum öncelikle   $s(A\cup B)=s(A)+s(B)-s(A\cap B)$    nin ispatı yapılmalıdır. Sonrası buradan çıkar.

---

litaraturdeki karsiligi inclusion exclusion olmali sanirim. Ilk once kumeleri toplayiip sonra 2li kesisimlerini cikaracagiz bu sefer fazla cikarmis oluyoruz cunki ayni kumeleri kumesayisinin 2 li kombinasyonu kadar fazla cikarmis oluyoruz ...sonra 3lu kesisimlerini eklemeliyiz..... en son tum birlesimi ya ekliyoruz ya cikariyoruz en sondan bir onceki isleme gore.

Amaç: Bize birlesimdeki eleman sayisini sordugu icin ve bu elemanlari bulmak icin kesisimleri ekleyip ekleyip cikarmamiz ve bu kesisimleri ekleyip cikarirken istenilene ulaşmak icin denkleştirmemiz.

Iyi aciklayamamis olabilirim. Internette,  litaraturdeki karsiligi arastirilip daha iyi ogrenilebili, ornekler ve ileri okumalarla... Soru sahibinin denemeleri ve ugraslarina gore site yardim alabilecegini de not edeyim.

Answer 1

s(A$\cup$B$\cup$C) = s(A$\cup$(B$\cup$C)) = s(A) + s(B$\cup$C) - s(A$\cap$(B$\cup$C))

= s(A) + [s(B) + s(C) - s(B$\cap$C)] - s(A$\cap$(B$\cup$C))

= s(A) + s(B) + s(C) - s(B$\cap$C) - s((A$\cap$B)$\cup$(A$\cap$C))

= s(A) + s(B) + s(C) - s(B$\cap$C) - [s(A$\cap$B) + s(A$\cap$C) - s((A$\cap$B)$\cap$(A$\cap$C))]

(A$\cap$B)$\cap$(A$\cap$C) = A$\cap$B$\cap$C olduğundan,

= s(A) + s(B) + s(C) - s(B$\cap$C) - s(A$\cap$B) - s(A$\cap$C) + s(A$\cap$B$\cap$C) .

s(X$\cup$Y) = s(X$\cup$(Y/X)) = s(X) + s(Y/X) = s(X) + [s(Y) - s(X$\cap$Y)]