Bir başka kanıtı da ben vereyim:
a,b,n∈N ve n>1 olmak üzere, Eğerki
a=bq+r ise
na−1=(nb−1)(na−b+na−2b+⋯+na−bq)+nr+1 yani
na−1=(nb−1)Q+nr+1 olur. (a,b)=(b,a−bc) eşitliğini kullanırsak
(na−1,nb−1)=(nb−1,nr−1) olur. Öklid algoritmasını kullanarak bunu böyle devam ettirdiğimizde
(na−1,nb−1)=(nb−1,nr−1)=⋯=(n(a,b)−1,n0−1)=n(a,b)−1 olur.