Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi
(2x1,2y1)=2(x,y)1 olduğunu kanıtlayınız

2x1 ve, 2y1 sayılarının OBEB'i Bu sayıların farkı ve toplamınıda böler deyip gerekli işlemler yapılınca OBEB Hakkında bazı bilgiler ediniliyor ancak bu OBEB'i bulmak için yeterli değil. kanıt hakkında yardımcı olur musunuz?
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (194 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 1.5k kez görüntülendi

2x ve 2y doğal sayılar ise x,y<0 olması gerekir. Bu durumda xy>0 olur. Dolayısıyla xy negatif bir sayı olur ama o zaman da 2xy doğal sayı olmaz. Acaba ben soruyu yanlış mı anlıyorum?

Sanırım böyle olacak quqipeeoiiuroior?

hayır aslında 2 üzeri x sayısının bir eksiği olacaktı, y de aynı şekilde. cevapta 2 üzeri x ve y nin OBEB'i sayısının bir eksiği.

buda yanlış oldu örnek vererek gideyim.

2 üzeri 3 - 1= 7

2 üzeri 6 - 1 = 63

2 üzeri (3,6) -1 = 7

yani 7 sayısı 7 ve 63 ün en büyük ortak bölenidir.

üsleri burdaki gibi olmalı.

1. satirda (2x1,2y1) obebi anlamina mi geliyor?
2(x,y) burada da x ve y'nin obebi anlaminda mi?
kısa olarak böyle gösterilebiliyor. köşeli parantez de EKOK yerine kullanılıyor.

Soru için şöyle bir şey kullanabiliriz, x=nk olsun 2n1|2x1 diyebiliyoruz.


veya


2a12ab1(mod2b1)


xy=N
Bu oranin dogal sayi(N) olmasi durumunda 1 olmayan obeb bulunabiliyor.Rasyonel sayi(Q) oldugunda obeb 1 cikiyor.
2y1 ve 2x1'den hangisi daha kucukse obeb onun carpanlarindan biri olacaktir.İki sayida tektir.
2x1=(21)(2x1+2x2+2x3...22+2+1)
2y1=(21)(2y1+2y2+2x3...22+2+1)

x=7 ve y=4 için (2x1,2y1)=1
x=6 ve y=3 için (2x1,2y1)=t
 
t=(261)=(21)(25+24+23+22+2+1)
(231)=(21)(22+2+1)
(261,231)=(25+24+23+22+2+1,22+2+1)=22+2+1=7

Analizi daha ogrenemedigimden cozum yapar gibi anlatmaya calistim.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

daha genel halde,

                                                             (na1,nb1)=n(a,b)1

olur. Tabii a,b,n birer pozitif tamsayı. Ancak n>1 olsun. Şimdi (a,b)=d olsun. Bu durumda d|a ve d|b olur.

d|a ise nd1|na1 olur. (Bunu da sen kanıtla). Aynı şekilde nd1|nb1 olur. Tanım gereği,

                                                               nd1|(na1,nb1)

olur. Eşitliğin sağlandığını göstermek için bunu tersten de göstermeliyiz. Zira a|b ve b|a olursa |a|=|b| olur.

Şimdi bir m için nanb1(modm) olsun. (m,n)=1 olduğu bariz. Ayrıca Bezout teoremine göre au+bv=(a,b) olacak şekilde u,v tamsayılar var.

                                                      nau+bv=n(a,b)1(modm)

Demek ki m|nd1. Sonuç olarak

                                                           (na1,nb1)|nd1

                                                           (na1,nb1)=n(a,b)1

(881 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Bir başka kanıtı da ben vereyim:

a,b,nN ve n>1 olmak üzere, Eğerki

a=bq+r ise

na1=(nb1)(nab+na2b++nabq)+nr+1 yani

na1=(nb1)Q+nr+1 olur. (a,b)=(b,abc) eşitliğini kullanırsak

(na1,nb1)=(nb1,nr1) olur. Öklid algoritmasını kullanarak bunu böyle devam ettirdiğimizde

(na1,nb1)=(nb1,nr1)==(n(a,b)1,n01)=n(a,b)1 olur.

(194 puan) tarafından 
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,860,075 kullanıcı