İç açı ölçüleri rasyonel sayı olan üçgenlerde kenar uzunlukları

Question

Eşkenar üçgen tüm kenar uzunlukları rasyonel sayı iken tüm iç açıları da derece cinsinden rasyonel olan tek üçgendir diye bir bilgiye rastladım.Eşkenar üçgenler dışında iç açılar rasyonel iken kenarların rasyonel olamayacağı nasıl ispatlanır?

Comments

Kosinus teoreminde $\cos(\alpha)$'yi yanliz birakirsan kenarlar rasyonalse bu degerin de rasyonel olmasi gerektiginu goruruz.

Answer 1

Kosinus teoreminde $\cos(\alpha)$'yi yanliz birakirsak kenarlar rasyonalse bu degerin de rasyonel olmasi gerektiginu goruruz.

Bir ic aci olarak bu deger $60^\circ$, $90^\circ$ ya da $120^\circ$ olmalidir. (Baska bir soruda tartisilabilir. Okuyucular bunu dusunsun).

Her aci icin bu saglanmasi gerektiginden ve acilar toplami da $180^\circ$ olmasi gerektiginden tum acilar $60^\circ$ olmali. Bu da eskenar ucgen olmasini gerektirir.

Comments

0 ile 180 derece arasında kosinüsü rasyonel sayı olan diğer acıların olamayacağını nasıl göstereceğiz?  Bunun için aldığımız açı haricindeki diğer iç açılardan en az birinin rasyonel olamayacağını göstermemiz gerekir.

---

"Baska bir soru olarak bu degerin sadece 60'in katlarinda rasyonal olacagi tartisilabilir. Okuyucular bunu dusunsun" olarak bunu okuyucuya (ilk basta soru sahibi olmak uzere) biraktim. 

Sebebini, zorlugunu kolayligini aslinda paylasabilirim ama bu sekilde senin bunu dusunmeni engellemis olurum. Bunu da istemiyorum.

---

*Arada $90$ dereceyi atlamisim. Ekledim.